axpgn ha scritto:Dimostrare che il numero $5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$ è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.
Arrivo con 3 mesi abbondanti di ritardo ... ma voglio dire anch'io la mia (scegliendo volutamente di essere terra-terra, comprensibile anche a chi è rimasto al livello martematico della 1ª media) .
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
• [5^5] = 3125 = 11·284 + 1 ––> Il resto della divisione di $5^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $5^(5k+1)$ per 11 è lo stesso di quello di 5 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.
• [4^5] = 1024 = 11·93 + 1 ––> Il resto della divisione di $4^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $4^(5k+2)$ per 11 è lo stesso di quello di 16 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.
• [3^5] = 243 = 11·22 + 1 ––> Il resto della divisione di $3^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione per 11 di $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54) $ 1 è lo stesso di quello di
(5 + 5 + 1) : 11,
che vale 0 (che significa che $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54)$ è divisibile per 11 per ogni k naturale).
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