Esercizio probabilità congiunta

[lordstark90]

Buongiorno,
Ho provato a risolvere un esercizio sulla funzione di probabilità congiunta. Riporto il testo e i miei passaggi. Potreste dirmi se è giusto o se (molto probabile ) ho fatto qualche errore. Grazie!

TESTO

Sia $f_(xy)(x,y)=4xy*e^(-(x^2+y^2))$ per $x>=0, y>=0$ (0 altrove), la funzione congiunta di probabilità di due variabili $X$ e $Y$.
Calcolare:
1) la densità di probabilità di $X^2$
2) la densità di probabilità di $Z=sqrt(X^2+Y^2)$

SOLUZIONE

1) Dopo aver ricavato le densità di probabilità $f_x(x)$ e $f_y(y)$ e verificato che sono indipendenti ho effettuato una trasformazione di variabile:

$f_x(x)=2x*e^(-x^2)$ per $x>=0$ (0 altrove)
$W=X^2$
$f(x)=g(y(x))*|y'(x)|$

da cui si ricava $g_w(w)=e^(-w)$ per $w>=0$ (0 altrove)

2) Poichè ho difficoltà a fare ragionamenti di tipo geometrico, ho effettuato anche qui una trasformazione passando alle variabili X e Y alle variabili:

${(Z=sqrt(X^2+Y^2)),(W=X^2):}$

Quindi facendo la trasformazione $f(x,y)=g(z,w)*|DET(J)|$ si ottiene:

$g_z(z)=2z*e^(-z^2)$ per $z>=0$ (0 altrove)

[tommik]

Quindi facendo la trasformazione $f(x,y)=g(z,w)*|DET(J)|$ si ottiene:

$g_z(z)=2z*e^(-z^2)$ per $z>=0$ (0 altrove)

Grave....grave errore! peccato, davvero peccato per questo scivolone finale, con tutto l'esercizio perfetto.

La funzione che hai trovato (e che ho citato) è la congiunta $(ZW)$, non la marginale Z

$f_(ZW)=2ze^(-z^2)$

ne sei convinto o no?

Le marginali risultano, integrando tale densità congiunta sul supporto dell'altra variabile (con questo metodo le trovi subito tutte e due le marginali):

$f_W=e^(-w)$ ; $w>=0$ (corretto, è una esponenziale negativa)

$f_Z=2z^3e^(-z^2)$; $z>=0$

Perché? Quali sono gli estremi corretti di integrazione? Per capirlo è necessario prima capire quale sia il supporto congiunto del vettore $(Z,W)$ che, ovviamente, NON è tutto il primo quadrante....


Oppure puoi usare un

Metodo alternativo

Per quanto riguarda $W=X^2$ ok, va bene come hai fatto.

Per quanto riguarda la trasformazione $Z=sqrt(X^2+Y^2)$ ti suggerisco questo medoto pressoché immediato. Trasforma il vettore aletorio in coordinate polari, ottenendo subito

$f_(P Theta)(rho,theta)=4rho^3e^(-rho^2)costheta sentheta=2costheta sen theta xx 2rho ^3e^(-rho^2)$

dove si vede subito che la congiunta è il prodotto di due densità indipendenti, una dell'angolo ($theta in [0; pi/2] $)e l'altra del raggio

...essendo il raggio proprio $rho=sqrt(X^2+Y^2)$ hai la distribuzione cercata.

[lordstark90]

Grazie mille anche per il metodo alternativo!

Immaginavo di aver sbagliato la funzione finale. Non comparendo la variabile w ho dato frettolosamente per scontato che fosse la $g_z(z)$, ma in effetti non ha senso. Quindi per ottenere $g_z(z)$ bisogna fare così:

$g_z(z)=\int_{0}^{z^2-y^2} 2z*e^(-z^2) dw$

Giusto?

[tommik]

di male in peggio (ci sono molti esercizi sul forum, anche più articolati, che ti invito a studiarti per bene)

Partendo dall'ottimo sistema che hai scritto

${{: ( W=X^2 ),( Z=sqrt(X^2+Y^2) ) :}rarr{{: ( X=sqrt(W) ),( Y=sqrt(Z^2-W) ) :}$

appare subito evidente che deve essere anche $z^2-w>=0 rarr z>=sqrt(w)$

e quindi

$f_W=int_(sqrt(w))^(+oo)f_(ZW)dz$

$f_Z=int_(0)^(z^2)f_(ZW)dw$

Dato che il dominio congiunto è questo



fine.

[lordstark90]

Ok perfetto grazie mille ho rimescolato un pò di cose Andrò sicuramente a vedere un pò di esercizi nel forum.
Invece cambiando approccio è giusta una risoluzione di questo tipo o c'è qualche errore concettuale?

$f_(xy)(x,y)=4xy*e^-(x^2+y^2)$
$Z=sqrt(X^2+Y^2)$

$F_z(z)=P(Z<=z)=P(X<=sqrt(z^2-Y^2))=int_{0}^{z} int_{0}^{sqrt(z^2-Y^2)} f(x,y) dx dy$

Risolvendo si dovrebbe ottenere $F_z(z)=-e^(-z^2)*(z^2+1)+1$ da cui poi ottenere:

$f_z(z)=F'_z(z)=2z^3*e^(-z^2)$

Giusto?

[tommik]

giusto. Macchinoso e brutto, secondo me.

Ecco qui un esercizio fresco fresco quasi tutto risolto.... tanto l'utente che lo ha postato non si farà più né vedere né sentire..se lo guardi e ti può essere utile sono contento....almeno non ho buttato del tempo

[lordstark90]

Si molto macchinoso e non è nemmeno detto che si riescano a risolvere facilmente gli integrali. Ma almeno se so che è giusto posso provare più metodi per verificare se i risultati sono uguali.
Grazie mille davvero per il tempo dedicato. Guarderò un pò di materiale in giro per il forum e l'esercizio che mi hai mandato che sarà sicuramente di aiuto per farmi capire meglio