Reyzet ha scritto:Pensavo che congiungendo uno dei punti uniti delle due rette con un qualunque punto dell'altra retta fatta di punti uniti si ottengono altre rette invarianti e in effetti penso che vengano dei piani di rette invarianti (con infinito alla due possibilità di scelta del punto unito).
Quello che hai scritto qui e quello che ho scritto io nel terzo caso sono la stessa identica cosa: prendere una retta proiettiva per due punti uniti equivale a prendere un piano in $RR^4$ generato da due rette invarianti.
Reyzet ha scritto:Queste esauriscono tutte le rette invarianti?
In questo caso sì perche avevi una matrice diagonalizzabile in $RR$, altrimenti avresti dovuto cercarne delle altre. Più nel dettaglio, una matrice $(n+1) xx (n+1)$ che rappresenta una proiettività di $\mathbb{P}^n RR$ può avere:
- un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica e geometrica non coincidenti: in tal caso dovresti cercare dei piani invarianti nel sottospazio $\text{ker} (f - lambda I)^2 \subseteq RR^{n+1}$, che corrispondono a rette proiettive che contengono un unico punto unito;
- una coppia di autovalori non reali e coniugati: preso $v \in CC^{n+1}$ autovettore rispetto a uno di essi, il piano di $RR^{n+1}$ generato da $\text{Re}(v)$ e $\text{Im}(v)$ corrisponde a una retta proiettiva invariante ma priva di punti uniti (viceversa, tutte le rette invarianti di questo tipo dovrebbero essere ottenibili in questo modo, ma non ne sono certo...).