Giusto per concludere il discorso in modo che il topic possa essere utile anche ad altri...con i dati del problema proviamo a calcolare
$mathbb{P}[S<85]$
partendo dal fatto che le $X_i$ sono tutte $Exp(2)$ iid, la probabilità proposta può essere calcolata anche in modo esatto. Infatti è noto che
$S=sum_(i=1)^(150)X_i~"Gamma"(150;2)$
$4S~"Gamma"(300/2;1/2)=chi_((300))^2$
e quindi è evidente che
$mathbb{P}[S<85]=mathbb{P}[chi_((300))^2<340]=0.944$
Il valore esatto può essere calcolato perché la chi quadro è tabulata ormai dovunque (l'ho fatto con excel)
Volendo approssimare il valore si può usare il Teorema del limite centrale che conduce a trovare
$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.63)=0.948$
ma è anche noto che, per $"gdl"=m>=30$
$sqrt(2u)-sqrt(2m-1)=z$
e quindi
$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.6)=0.945$
che conduce ad una approssimazione migliore del TLC