In realtà né la tua domanda né la laconica asserzione di axpgn sono del tutto bizantine a mio avviso.
Se tu lavorassi in radianti potresti direttamente approssimare sia $sin(x)$ che $tg(x)$ con, semplicemente $x$.
La spiegazione del perché usi il seno credo sia dovuta ad un fatto di praticità, al fine di leggere il valore direttamente sulle tavole che potresti avere a disposizione per non dover fare il conto con le tavole logaritmiche (dovresti moltiplicare per $3,14$ e dividere per $180°$)
Questo perché, come ti ha scritto Bokonon $tg(x)~sen(x)~x, x->0$ Anche se non so se avete fatto già gli infinitesimi.
Immagino che i testi che usi derivino da vecchie tradizioni didattiche legate all'impiego delle tavole logaritmo-goniometriche. Se alla fine del libro trovi una tabella con le mantisse a 4 cifre allora è senz'altro così.
Resta il fatto che i regoli calcolatori (non quelli più piccini per gli ingegneri civili che lo tenevano in taschino mentre in giro per il cantiere) normalmente hanno anche la scala con le tangenti degli angoli.
Nondimeno I regoli normalmente ti danno i valori della tangente per angoli dai $5°$ ai $85°$ (per ovvi motivi).
Ti mando un'immagine tratta dal depliant informativo di un mio regolo organizzazione Darmstadt che ti fa capire quali fossero le problematiche nell'età del regolo con la tabella con le diverse approssimazioni utilizzabili per calcolare le funzioni goniometriche di angoli piccoli come nel tuo caso.
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Scusa se ti mando così barbarescamente le foto e non gli scan, tra l'altro con un blocco note di quelli che regalano in giro per le aziende sotto.
L'osservazione di axpgn non è poi campata per aria perché alcuni regoli aeronautici hanno funzioni molto specifiche,
questo ed altri sono prodotti tutt'oggi per esempio. Lo trovi su amazon. Immagino anche in campo nautico ci siano ancora certi ordigni in circolazione.