EDO non lineare del 1° ordine con problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 11/06/2019, 18:50

Buongiorno a tutti,
dato che è il mio primo post colgo l'occasione per ringraziarvi di tutto quello che fate qui: vi seguo da quando ho iniziato ingegneria e grazie anche ai vostri consigli ho superato geometria ed algebra lineare. Vengo al dunque: sto preparando analisi 2 e mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame:
Sia data l'eq. differenziale con problema di Cauchy:
\( \begin{cases} y'= |\sqrt[3]{y}|+x \\ y(x_{0} )=a \end{cases} \)
1- in base a teoremi conosciuti, determinare per quali valori di "\( a \)" sono soddisfatte le condizioni per l’esistenza e unicità locale e globale (l'intervallo per quest'ultima non lo definisce).
2- calcolare la soluzione generale.
3- Tracciare il grafico della sol. generale trovata.

Per il primo punto ho considerato \(y'= \sqrt[6]{y^2}+x\) così da poter eliminare il modulo. Quindi \( f: A \rightarrow \Bbb R\) con \( A\subseteq \Bbb R\times\Bbb R \). È di classe \( C^\infty \) perciò vale il teorema di \( \exists ! \) locale in un intorno \( I \) di \( x_{0} \) questo \( \forall\ x_{0} \in \Bbb R \). Quindi è valido \( \forall\ a \in \Bbb R \).

Per quanto riguarda l' \( \exists ! \) globale osservo che \( \frac{\partial f}{\partial y} \) è tutto fuorchè limitata, quindi \( \nexists \) sol. globale.
Per il calcolo della soluzione generale non so come procedere, preso dalla disperazione ho provato anche con Wolfram-alpha, ma mi rimanda alle equazioni di Abel, Chini e altri a seconda di come gli gira. Spero che qualche buonanima più esperta mi possa dare una mano, ci ho speso tutta la giornata :cry: Ringrazio in anticipo
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Re: EDO non lineare del 1° ordine con problema di Cauchy

Messaggioda gugo82 » 11/06/2019, 21:53

Cosa succede per $a=0$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: EDO non lineare del 1° ordine con problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 12/06/2019, 10:15

Ciao gugo! grazie della risposta. Allora con \( a=0 \) si ha \( y'= x \). Trovare la sol. generale di questa è triviale, sarebbe una parabola. Quindi vuol dire che la risposta alla prima domanda è che \( \exists! \) sol locale con a=0? Scusami se dico fesserie, ma questa parte del programma mi risulta molto ostica. Il ragionamento che ho fatto per l' \( \exists! \) quadra? Grazie mille ancora
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Re: EDO non lineare del 1° ordine con problema di Cauchy

Messaggioda gugo82 » 12/06/2019, 14:01

No, su tutta la linea.

Come fai a trasformare un’informazione puntuale come la condizione iniziale $y(x_0) = 0$ in una condizione globale $y(x) = 0$ soddisfatta in tutti i punti della soluzione (perché inglobata nella EDO)?

Rileggiti l’enunciato del teorema di esistenza ed unicità locali.


P.S.: In Matematica, meglio usare “banale” piuttosto di “triviale” (che in italiano ha un altro significato rispetto all’equivalente inglese trivial).
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