Problema di Cauchy

Messaggioda Elia1999 » 11/06/2019, 18:46

Salve, non riesco a capire dove ho sbagliato nel seguente esercizio :

Studiare il seguente problema di Cauchy \(\displaystyle \begin {cases} y'(t)=2sen( \frac {t} {5} ) \sqrt {25-y} \\ y(0)=0 \end {cases} \)

Ok io l'ho svolto così :

\(\displaystyle f(t,y)=2sen( \frac {t} {5} ) \sqrt {25-y}\)
\(\displaystyle f(t,y) \in C(R)\)
\(\displaystyle \Omega = \{y\in R : y \leq 25 \} \)
\(\displaystyle \frac {df} {dy} (t,y)=2sen( \frac {t} {5} )(- \frac {1} {2\sqrt {25-y}}) \)
\(\displaystyle \frac {df} {dy} (t,y) \in C(R) \)
\(\displaystyle \Rightarrow \exists ! \) soluzione del problema di Cauchy

Primo tentativo :

\(\displaystyle y(t)=0 \Rightarrow y'(t)=0 \)
\(\displaystyle 2sen( \frac {t} {5} ) \sqrt {25-y(t)}=2sen( \frac {t} {5} )5 \neq y'(t)\)

Secondo tentativo :

\(\displaystyle y'(t)=2sen( \frac {t} {5} ) \sqrt {25-y(t)} \)
\(\displaystyle \frac {y'(t)} {\sqrt {25-y(t)}}=2sen(\frac {t} {5}) \)
\(\displaystyle \int {\frac {dy} {\sqrt {25-y}}}=2\int {sen (\frac {t} {5}) dt} \)
\(\displaystyle -2\sqrt {25-y(t)}=-10cos(\frac {t} {5})+c \)

Andando a sostituire a \(\displaystyle y(t)=0 \) e \(\displaystyle t=0 \) risulta che \(\displaystyle c=0 \). Quindi isolando la \(\displaystyle y(t) \) la soluzione dovrebbe essere la seguente :

\(\displaystyle y(t)=-(5cos(\frac {t} {5}))^2 +25 \)

Il problema è che verificando risulta che la soluzione che ho trovato è sbagliata. Infatti in quella giusta compare anche un seno.
Elia1999
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Re: Problema di Cauchy

Messaggioda gugo82 » 11/06/2019, 21:50

Prova a verificare che quella che hai trovato sia la soluzione.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Problema di Cauchy

Messaggioda Elia1999 » 11/06/2019, 22:38

Per vedere se è soluzione basta che vado a verificare la condizione del mio problema di Cauchy , ossia se \(\displaystyle y(0)=0 \) ?
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Re: Problema di Cauchy

Messaggioda pilloeffe » 11/06/2019, 23:04

Ciao Elia1999,
Elia1999 ha scritto:$ y(t)=-(5cos(\frac {t} {5}))^2 +25 $

Per me la tua soluzione è corretta:

$y(t) = -(5cos(\frac{t}{5}))^2 + 25 = - 25cos^2(\frac{t}{5}) + 25 = 25 sin^2(\frac{t}{5}) $

Invece non sono così convinto che sia l'unica soluzione...
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Re: Problema di Cauchy

Messaggioda Elia1999 » 11/06/2019, 23:17

Per trovare le altre come faccio ? E soprattutto come faccio a capire se ci sono più soluzioni ?
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Re: Problema di Cauchy

Messaggioda Bokonon » 11/06/2019, 23:59

Elia1999 ha scritto:Per trovare le altre come faccio ? E soprattutto come faccio a capire se ci sono più soluzioni ?

La soluzione è corretta...ma perchè sei andato per educated guess?

P.S. Ah ok, ho letto male, l'hai risolta.
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