Una matrice grande

[axpgn]

Supponiamo di avere una matrice $M$ di numeri reali avente dimensioni $1987 xx 1987$ e che ciascun elemento di questa matrice abbia un valore assoluto non maggiore di $1$.
Supponiamo anche che tutti gli elementi di questa matrice siano stati accuratamente scelti e disposti in modo tale che presa ogni sottomatrice di dimensioni $2 xx 2$, la somma dei quattro elementi di questa sia pari a zero.

Dimostrare che la somma $S$ di tutti gli elementi di $M$ non supera $1987$ (cioè $S<=1987$)

Cordialmente, Alex

[giammaria]

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Chiamo $S_n$ la somma degli elementi di $M_n$, intersezione delle prime $n$ righe e colonne di $M$.
Per $n$ pari si ha $S_n=0$ perché la matrice è suddivisibile in quadrati $2 xx 2$. Per $n$ dispari dimostro per induzione completa che $|S_n|<=n$.
Passo iniziale: dimostro che $|S_1|<=1$. Infatti
$|S_1|=|a_11|<=1$
Passo di ricorrenza: posto $n=2m+1$, dimostro che se $|S_(2m-1)|<=2m-1$ allora $|S_(2m+1)|<=2m+1$.
$M_(2m+1)$ si ottiene aggiungendo due righe e colonne a $M_(2m-1)$; trascurandone l'ultima colonna, le due righe aggiunte sono suddivisibili in quadrati $2 xx 2$ e quindi la somma dei loro elementi è zero. Lo stesso vale per le colonne aggiunte. In questo modo abbiamo però considerato due volte l'elemento $a_(2m,2m)$ che va quindi sottratto dal totale, aggiungendovi invece l'elemento trascurato. Perciò
$S_(2m+1)=S_(2m-1)-a_(2m,2m)+a_(2m+1,2m+1)$
da cui
$|S_(2m+1)|<=|S_(2m-1)|+|a_(2m,2m)|+|a_(2m+1,2m+1)|<=2m-1+1+1=2m+1$

Nota: modificando di pochissimo il precedente ragionamento si ottiene l'eguaglianza
$S_(2m+1)=a_11-a_22+a_33-a_44+...+a_(2m+1,2m+1)$

[axpgn]