Applicazione TLC

Messaggioda botta » 11/06/2019, 15:34

Il tempo di sopravvivenza di una lampada è v.a. esponenziale di media
$μ$ $=$ $10$ giorni. Appena si brucia, essa è sostituita.
a) Trova la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno.
b) Trova quante lampade occorrono per tenere accesa la luce per un anno con probabilità $0.90$.

Il punto a) l'ho risolto semplicemente applicando il teorema del limite centrale , con $n = 40$, $μ = 10$ e$ \sigma = 100$.
Risultato $0,71$.

La parte b) del problema non mi doveva dare problemi in realtà, l'incognita è solamente un'altra.
$p[N(0,1) \geq (365 - 10n)/(10\sqrt n)] = 0.90$
che poi diventa
$365 - 10n = 12.8\sqrt n$
qua ho scelto la strada di utilizzare una variabile temporanea $t = \sqrt n$
I calcoli mi portano a questa equazione
$ t_1,_2 = (-12.8 \pm 121.5)/20 $
che mi porta a due soluzioni $t_1 = -6.715$ , $t_2 = 5,435$
sostituendo trovo $n_1 = 47$ e $n_2 = 30$
il risultato del libro dice $47$.
ora però ho 2 soluzioni, tra l'altro una era negativa all'inizio, come faccio a scegliere tra le due?
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Re: approssimazione a normale(0,1)

Messaggioda tommik » 11/06/2019, 16:03

Ho dovuto rifarti tutti i conticini delle medie perché non mi tornava nulla :smt013

Applicando il TLC (che non è la via migliore, dato che la distribuzione di partenza è un'esponenziale) trovi che

$mathbb{P}[Z>=(365-10n)/(10sqrt(n))]>=0.90 rarr mathbb{P}[Z<=-1.28]$

e quindi è come dire (dalle tavole)

$(365-10n)/(10sqrt(n))<=-1.28$ che ha soluzione (il più piccolo intero) $n=46$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$-10t^2+12.8t+365<=0$

che porge come soluzioni:$t_1=-5.435$ e $t_2=6.715$

la disequazione è verificata per valori esterni alle radici (è una parabola con i rami rivolti verso il basso), oltretutto radici negative sono da scartare perché stiamo cercando un numero naturale..... quindi $6.715^2=45.09~~ 46$ perché 45 è insufficiente.


se approssimi meglio (come ti ho spiegato nell'altro topic) mi viene addirittura $n=45$ che coincide con il calcolo esatto:

$mathbb{P}[S/5>=365/5]=mathbb{P}[chi_((2m))^2>=73]>=0.90 rarr m=45$

Questo è ciò che viene a me....

Per favore ....non mettermi 10 topic tutti con il medesimo titolo

Per il punto a): Sì con il TLC viene 71% ma il valore esatto è $ 0.698$; approssimandolo con la formula che ti ho indicato nell'altro topic viene $0.701$...che è meglio

grazie
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Applicazione TLC

Messaggioda botta » 11/06/2019, 18:01

grazie!! purtroppo non conosco altri metodi se non il TLC! Però non capisco ancora una cosa, perchè e come il quantile di 0,90 diventa $-1.28$?
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Re: Applicazione TLC

Messaggioda tommik » 11/06/2019, 18:59

Il 90% sta a destra del quantile.....

$mathbb{P}[Z>z]>=90% harr mathbb{P}[Z<=z]<=10%$
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Re: Applicazione TLC

Messaggioda botta » 12/06/2019, 09:59

giusto grazie ci ho pensato solo ora!
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