dato che è il mio primo post colgo l'occasione per ringraziarvi di tutto quello che fate qui: vi seguo da quando ho iniziato ingegneria e grazie anche ai vostri consigli ho superato geometria ed algebra lineare. Vengo al dunque: sto preparando analisi 2 e mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame:
Sia data l'eq. differenziale con problema di Cauchy:
\( \begin{cases} y'= |\sqrt[3]{y}|+x \\ y(x_{0} )=a \end{cases} \)
1- in base a teoremi conosciuti, determinare per quali valori di "\( a \)" sono soddisfatte le condizioni per l’esistenza e unicità locale e globale (l'intervallo per quest'ultima non lo definisce).
2- calcolare la soluzione generale.
3- Tracciare il grafico della sol. generale trovata.
Per il primo punto ho considerato \(y'= \sqrt[6]{y^2}+x\) così da poter eliminare il modulo. Quindi \( f: A \rightarrow \Bbb R\) con \( A\subseteq \Bbb R\times\Bbb R \). È di classe \( C^\infty \) perciò vale il teorema di \( \exists ! \) locale in un intorno \( I \) di \( x_{0} \) questo \( \forall\ x_{0} \in \Bbb R \). Quindi è valido \( \forall\ a \in \Bbb R \).
Per quanto riguarda l' \( \exists ! \) globale osservo che \( \frac{\partial f}{\partial y} \) è tutto fuorchè limitata, quindi \( \nexists \) sol. globale.
Per il calcolo della soluzione generale non so come procedere, preso dalla disperazione ho provato anche con Wolfram-alpha, ma mi rimanda alle equazioni di Abel, Chini e altri a seconda di come gli gira. Spero che qualche buonanima più esperta mi possa dare una mano, ci ho speso tutta la giornata
Ringrazio in anticipo
