Smon97 ha scritto:Quindi studiare la derivata agli estremi dell'intervallo e se essa è limitata allora la funzione è lipschitziana è giusto ma dovrei approfondire il motivo per cui si può fare.
La cosa che devi capire bene è più di base. E' vero che se una funzione derivabile ha la derivata limitata in un intervallo, allora essa è Lipschitziana, come dice Flamber nell'ultimo post. Ma il problema è un altro:
Come fai a dimostrare che una funzione è limitata? Tu calcoli il limite agli estremi dell'intervallo di definizione, il che operativamente è spesso la cosa da fare, ma il motivo è più profondo e tu lo ignori: il motivo è il
teorema di Weierstrass. Non flessi verticali e robe del genere\(^{[1]}\), è il teorema di Weierstrass la chiave di tutte queste cose. Se una funzione a valori reali è continua su un insieme compatto, allora essa ammette massimo e minimo. Questo teorema andrà applicato alla derivata di \(f\).
Tu hai spesso calcolato il limite agli estremi dell'intervallo perché una tipica situazione operativa è la seguente; ti si è data una funzione \(g\colon (a, b)\to \mathbb R\), continua. Qui Weierstrass NON si può applicare, perché \((a, b)\) non è un insieme compatto. Tuttavia, se esistono finiti i limiti di \(g\) in \(a\) e in \(b\), allora \(g\) si può
prolungare per continuità ad \([a, b]\); è a questo prolungamento per continuità che si applica Weierstrass.
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\([1]\). Come dice Flamber nel post precedente, che a mio avviso è corretto solo in prima approssimazione.