finzione lipschitziana

[gugo82]

@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…

[Flamber]

@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…

In che senso? Applicare il teorema del valor medio non è sufficiente?

Da quanto mi pare di ricordare una funzione $f" : "OmegasubeRR^nrarrRR$ è lipschitziana in $Omega$ se esiste un $MinR_+"\"{0}$ tale che $|f(b)-f(a)|<=M*|b-a|$ , $forall a,binOmega$.

Nel caso in cui ci siano le condizioni per applicare il teorema di Lagrange in $OmegasubeRR^n$ allora si ha che:
$|f(b)-f(a)|<=max_(x inOmega)|gradf(x)|*|b-a|$ , $ forall a,binOmega$

quindi:

$|gradf(x)|$ è limitato in $OmegasubeRR^n$ $rArr$ $f$ è lipschitziana in $Omega$

Riportandoci al caso $n=1$

$|f'(x)|$ è limitata in $IsubeRR$ $rArr$ $f$ è lipschitziana in $I$

E verificare che $f$ sia differenziabile sulla frontiera di $Omega$ (o derivabile agli estremi di $I$ nel caso $n=1$) non garantisce che $|gradf(x)|$ non diverga a $+-oo$ in tutto $Omega$

[Smon97]

Scusate mi sto un pò confondendo ahah
Quindi studiare la derivata agli estremi dell'intervallo e se essa è limitata allora la funzione è lipschitziana è giusto ma dovrei approfondire il motivo per cui si può fare.
Invece altri metodi, oltre usare la definizioni, quali sono? in che dispense online li potrei studiare?

[dissonance]

Quindi studiare la derivata agli estremi dell'intervallo e se essa è limitata allora la funzione è lipschitziana è giusto ma dovrei approfondire il motivo per cui si può fare.

La cosa che devi capire bene è più di base. E' vero che se una funzione derivabile ha la derivata limitata in un intervallo, allora essa è Lipschitziana, come dice Flamber nell'ultimo post. Ma il problema è un altro:

Come fai a dimostrare che una funzione è limitata?

Tu calcoli il limite agli estremi dell'intervallo di definizione, il che operativamente è spesso la cosa da fare, ma il motivo è più profondo e tu lo ignori: il motivo è il teorema di Weierstrass. Non flessi verticali e robe del genere\(^{[1]}\), è il teorema di Weierstrass la chiave di tutte queste cose. Se una funzione a valori reali è continua su un insieme compatto, allora essa ammette massimo e minimo. Questo teorema andrà applicato alla derivata di \(f\).

Tu hai spesso calcolato il limite agli estremi dell'intervallo perché una tipica situazione operativa è la seguente; ti si è data una funzione \(g\colon (a, b)\to \mathbb R\), continua. Qui Weierstrass NON si può applicare, perché \((a, b)\) non è un insieme compatto. Tuttavia, se esistono finiti i limiti di \(g\) in \(a\) e in \(b\), allora \(g\) si può prolungare per continuità ad \([a, b]\); è a questo prolungamento per continuità che si applica Weierstrass.

---
\([1]\). Come dice Flamber nel post precedente, che a mio avviso è corretto solo in prima approssimazione.

[Smon97]

Ho capito, grazie a tutti. Mi riguarderò attentamente questi teoremi.

[gugo82]

@Flamber:

@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…

In che senso?

Nel senso: qual è la definizione di punto di flesso? Puoi mai avere un flesso in un estremo dell’intervallo di definizione?
A che pro mettere in gioco questa nozione quando c’entra come il cavolo a merenda?

[vict85]

Vorrei far notare che calcolare i limiti è un passaggio inutile nel tuo caso. La derivata è continua in \([-1,1]\); non hai bisogno di calcolarti i limiti per saperlo (è continua su tutto \(\mathbb{R}\) quindi lo è banalmente in ogni suo sottoinsieme aperto o chiuso). Il punto era appunto che aveva la derivata continua su un compatto e che quindi la derivata aveva un massimo e un minimo nell'insieme considerato. Nota che se la derivata non era continua, allora la funzione poteva ancora essere lipschitziana, ma non potevi usare Weierstrass per dimostrarlo.
Inoltre, nel tuo caso, il calcolo dei limiti per \((-\infty,+\infty)\) ha scopi diversi, infatti il punto importante è che la derivata è una funzione monotona crescente e quindi è limitata se lo è il suo limite all'infinito.

È comunque utile far notare che una funzione lipschitziana non è necessariamente derivabile e/o continua.

[gugo82]

@vict85: Proprio sull’inutilità della cosa volevo far riflettere lo OP.