Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda Jaeger90 » 12/06/2019, 16:33

Salve, stavo (ri)studiando gli integrali impropri e i relativi criteri nel caso di integrali con intervalli limitati (prima specie come li definisce qualche testo trovato online, o di seconda come lo definisce il mio testo universitario... quindi evito di chiamarli per numero)
Stavo leggendo per chiarire le idee su un sito che di solito mi è di aiuto nel capire vari argomenti, e ho trovato questo riguardo il criterio del confronto asintotico:

Immagine

Tuttavia non mi è chiara la nota sottostante, cosa intende dire? Da come esso espone i casi A e C sembra che anche essi siano condizioni necessarie e sufficienti al pari della B.
Grazie.
Jaeger90
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Re: Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda caulacau » 12/06/2019, 17:07

No, per come sono scritti, A e C sono dei "se P allora Q"; B invece è "P se e solo se Q": per vedere che le implicazioni inverse non funzionano, prendi \(g = 1/x\) ed \(f \equiv 0\) nel primo caso; similmente fai nel terzo.
caulacau
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Re: Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda galles90 » 12/06/2019, 17:53

Ciao Jaejer90,

ci provo, essendo che a breve devo sostenere l'esame di Analisi 1, diciamo, che faccio un test :-D.
Comunque quello che ti dico non prenderlo per buono, aspetta qualche utente più bravo, che ti possa conformare quello che ti dico, qualora fosse corretto.

Comunque, il punto $B$ si distingue dai casi $A$ e $C$ in quanto vengono esclusi i casi in cui $l=0$ e $l=+infty$, rispettivamente, cosi facendo abbiamo la certezza che $f$ abbia lo stesso ordine di grandezza di $g$, quindi, in particolare è possibile assocciare un equivalenza asintotica a tale relazione.
Sia
$lim_(x to x_0) f/g=l \ qquad \mbox{con} \ qquad l ne 0, \ qquad x_0 in RR', $
quindi diremo che $f(x)$ è dello stesso ordine di grandezza di $g(x)$ per $x to x_0$, se e solo se $f(x)$ è asintoticamente equivalente alla funzione $lg(x)$ per $x to x_0.$
Essendo che la relazione $~$ è una relazione: transitiva, riflessiva, e simmetrica, quindi è una relazione di equivalenza , quindi i due integrali si comportano nello stesso modo, per cui abbiamo la condizione necessaria e sufficiente.
Ricorda quello che ho detto sopra, ciao.
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Re: Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda Jaeger90 » 13/06/2019, 15:24

Quindi, da quel che ho capito, nel caso B abbiamo una relazione di equivalenza asintotica, quindi i casi valgono da sinistra a destra e anche da destra a sinistra. Al contrario in A e C vale solo la relazione da destra ($g(x)$) a sinistra ($f(x)$), per cui nel caso B possiamo affermare a sua volta che se l'integrale di $f(x)$ converge, convergerà anche l'integrale di $g(x)$, e anche al contrario, se $g(x)$ converge, anche $f(x)$ convergerà, giusto?

Cosa intendi con $Re^'$? $x$ può solo tendere a $+oo$

Semplicemente non trovo perchè definirla "relazione necessaria e sufficiente", e non definire anche le altre due in questo modo. :?
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Re: Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda galles90 » 13/06/2019, 16:08

Ciao Jaeger90,

Jaeger90 ha scritto:Quindi, da quel che ho capito, nel caso B abbiamo una relazione di equivalenza asintotica, quindi i casi valgono da sinistra a destra e anche da destra a sinistra. Al contrario in A e C vale solo la relazione da destra ($ g(x) $) a sinistra ($ f(x) $), per cui nel caso B possiamo affermare a sua volta che se l'integrale di $ f(x) $ converge, convergerà anche l'integrale di $ g(x) $, e anche al contrario, se $ g(x) $ converge, anche $ f(x) $ convergerà, giusto?

Si esatto

Jaeger90 ha scritto:Cosa intendi con $ Re^' $? $ x $ può solo tendere a $ +oo $ ?


No, voglio dire che $x_0$ può essere sia finito e che infinito, per questo $RR'=RR cup (-infty, +infty)$

Jaeger90 ha scritto:Semplicemente non trovo perchè definirla "relazione necessaria e sufficiente", e non definire anche le altre due in questo modo. :?


Perchè nei casi $A$ e $C$ non si valuta $l=0$ e $l=+infty$, quindi $l in RR$, cioè, assume solo valori finiti, pertanto le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.
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Re: Domanda criterio integrale improprio

Messaggioda Jaeger90 » 13/06/2019, 17:27

galles90 ha scritto:Perchè nei casi $A$ e $C$ non si valuta $l=0$ e $l=+infty$, quindi $l in RR$, cioè, assume solo valori finiti, pertanto le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.

Okay quello mi è chiaro, però io con la mancanza di "condizione necessaria e sufficiente" potevo intendere che anche se i casi A e C non son rispettati, allora non è detto che si abbia per forza la convergenza in quanto non è sufficiente. Era questo che mi faceva venire dei dubbi, perchè per poterle utilizzare allora devono essere per forza condizioni sufficienti di convergenza.
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