Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 20/05/2019, 20:58

Proverò a chiedere e vedrò quale soluzione è corretta... Ti farò sapere...
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 11/06/2019, 19:07

Il sistema costituito dal disco $D$ di raggio $r$ e dall'asta $OA$, mobile nel piano $Oxy$, è soggetto ai seguenti vincoli:
1) l'asta $OA$ ruota attorno al suo estremo $O$;
2) il disco $D$ rotola senza strisciare sull'asta $OA$ e rimane tangente all'asse $x$.
Immagine

Devo trovare, in funzione di $\theta$ e della sua derivata prima, la velocità angolare del disco e la sua velocità di strisciamento sull'asse delle $x$.



Ritorno su questo esercizio ora che ho il PC nuovamente funzionante, perche' c'e un'incongruenza, molto grossa, se risolvo il sistema da 2 punti di vista diversi; e non riesco a trovarla. Non postero' noiosissimi sviluppi di calcoli che ho fatto su carta, e spero che i maggiorenti del Forum mi dicano dove sta l'errore che ovviamente commetto data la discordanza dei risultati.

Metodo 1

L'equazione che imposto si basa sulla considerazione che il disco si muove in un sistema di riferimento mobile, costituito dall'asta OA. Tale sistema abbia come versore caratteristico $vecmu$ ortogonale all'asta. Sia inoltre $vectau$ il versore ortogonale al segmento CH e $vecomega_A$ sia la velocita' angolare dell'asta.
Il disco ruota di velocita' angolare incognita $vecphi$, che assumo positiva in senso antiorario.

Nel sistema di riferimento mobile, la velocita' relativa del punto H deve essere

$vecv_R=dotphi*CH*vectau$

Mentre la velocita' di trascinamento di H deve essere

$vecv_T=omega_A*OH*vecj$

Si ottiene


$vecv_H=dotphi*CH*vectau+omega_A*OH*vecj$

la scomposizione lungo $vecj$, permette di trovare la relazione

$dotphi=-omega_A/(2sin^2theta)$ [1]

La scomposizione lungo $veci$, con la sostituzione di $dotphi$ appena trovata, permette di calcolare la velocita di strisciamento di H lungo l'asse x.

Ebbene...[1] e' sbagliata!!!! Non puo essere. Infatti per $theta=45$, cioe' con asta verticale, affinche' il corpo sia in condizioni di rotolamento puro sull asta OA, deve essere per forza $dotphi=0$. Tutti i punti del disco si devono muovere di velocita' $omegaR$ e il disco in quella condizione puo solo traslare, ma non ruotare. Cosa che, chiaramente, non si evince da [1].

Allora approcciamo il sistema dal punto di vista di C che se appartenente al disco, viaggia con velocita'
$v_C=v_H-dotphi*CH*vectau$

la quale velocita' deve essere eguagliata alla velocita' $omega*OCvecmu$ del punto C pensato appartenente all'asta.

Dall'eguaglianza $v_H-dotphi*CH*vectau=omega*OCvecmu$, tramite scomposizione su y, imponendo che la componente di $vecv_H$ sia nulla, si ottiene

$dotphi=-(omega_Acos2theta)/(2sin^2theta)$ [2]

La [2} sembra corretta per 2 motivi: primo perche e' il risultato del testo, a detta dell'OP :-D
Secondo perche passa il test $dotphi=0$ quando l'asta e' verticale, cioe' a $theta=45$.

Chi trova l'errore? Io sinceramente non riesco a scovarlo. Ho pensato che l'errore nel primo metodo sia nel calcolo della velocita' di trascinamento...ma a guardarla nuovamente mi sembra corretta: se il disco fosse solidale con OA, mi sembra che quella sia la forma giusta per $vecv_T$

A voi la spiegazione :-)
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 12/06/2019, 12:01

Io purtroppo non so aiutarti, prendo per buona la soluzione dettata dal testo e l'accetto ( non è un corso per me fondamentale nell'indirizzo scelto). Seguo per vedere se qualcuno riuscirà a capire l'errore.
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Messaggioda Sergeant Elias » 12/06/2019, 12:06

Per determinare la velocità angolare del disco, conviene osservare che il suo centro istantaneo di rotazione è il punto d'intersezione dell'asta con il prolungamento del segmento HM. In questo modo:

$[\omega(x/(cos2\theta)-x)=-2dot\thetax] rarr [\omega=-(cos2\theta)/(sin^2\theta)dot\theta]$
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 12/06/2019, 12:46

@ Elias.
Si, è un terzo metodo.
Ma dove è l errore nel metodo 1 da me illustrato????
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Messaggioda Sergeant Elias » 12/06/2019, 12:56

Ciao professorkappa. Mi sembra che tu abbia calcolato una velocità angolare relativa. Non vorrei bastasse sommare $\omega_A$.
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Re:

Messaggioda professorkappa » 12/06/2019, 23:26

Sergeant Elias ha scritto:Ciao professorkappa. Mi sembra che tu abbia calcolato una velocità angolare relativa. Non vorrei bastasse sommare $\omega_A$.


Grazie Sarge, ma non mi convince come spiegazione. La velocita' di trascinamento e' basata sul disco "congelato" sull'asta, e quindi dovrebbe essere solo funzione di $omega_A$.
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