Th. esistenza e unicità PdC

[anto_zoolander]

Ciao!

devo portare anche questa dimostrazione, molto probabilmente, per sistemi.

Teorema
Siano $(x_0,y_0) in RRtimesRR^n$ un punto e $f$ una funzione a valori in $RR^n$ definita e continua almeno in un intorno del punto della forma $ItimesJ=D^1(x_0,a)timesD^n(y_0,b)$

Se $f$ è lipschitziana in $overline(y)$ uniformemente rispetto a $x$ in tale intorno allora

${(y'(x)=f(x,y(x))),(y(x_0)=y_0):}$

ammette un'unica soluzione

dimostrazione
sia $L>0$ la costante di Lipschitz per la funzione in tale intorno
$f$ è continua su un compatto quindi esiste $M=max_((x,y) in ItimesJ)norm(f(x,y))$

se $M=0$ basta prende la soluzione costante $y(x)=y_0$

se $M>0$ allora si può porre $delta<min{a,b/M,1/L}$ e $I_delta=[x_0-delta,x_0+delta]$

posto lo spazio $X$ delle funzioni continue $g:I_delta->RR^n$ dotato della norma dell'estremo superiore; esso è completo in quanto sottospazio chiuso di uno spazio completo.

si possono considerare la seguente palletta che è ancora un sottospazio completo

$D^(infty)(y_0,b)={y in X: norm(y-y_0)_(infty)leqb}$

e l'operatore

$F(y)=y_0+int_(x_0)^(x)f(t,y(t))dt$, $F:D^(infty)->X$

per concludere basta mostrare che $F(D^infty)subsetD^infty$ ed è una contrazione

1. sia $x in I_delta$ allora $norm(F(y(x))-y_0)leqint_(x_0)^(x)norm(f(t,y(t)))dtleqM|x-x_0|leqMdelta<b$
per l'arbitrarietà di $x$ passando al $s u p$ si ottiene la prima richiesta

siano $y_1,y_2 in D^(infty)$ e sia $x in I_delta$ allora

2.

$norm(F(y_1(x))-F(y_2(x)))leqint_(x_0)^(x)norm(f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t)))dtleqL|x-x_0|*norm(y_1(x)-y_2(x))<Ldeltanorm(y_1-y_2)_(infty)$

dall'arbitrarietà di $x$, anche qui, passando al $s u p$ si ottiene la seconda richiesta poichè $Ldelta<1$
Questo conclude la dimostrazione

domande

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

l'integrale in considerazione è l'integrale definito come il vettore degli integrali giusto?

nei passaggi 1 e 2 ho considerato dapprima di mostrare che la maggiorazione valesse per ogni $x$ così da passare al sup ed ottenere una disuguaglianza con la norma infinito; è corretto? io ritengo di si ma vorrei conferme.

[mobley]

Sai, anto_zoolander? Interesserebbe anche a me questa dimostrazione ma in un linguaggio più "umano"

[anto_zoolander]

Ma ho usato il simbolismo necessario e standard

[vict85]

@anto_zoolander: mobley studia finanza. Comunque è effettivamente una dimostrazione complessa e piuttosto tecnica.

Comunque mi sfugge come hai concluso senza usare il teorema del punto fisso di Banach. Ma è un po' che non la vedo e potri essermi perso qualche passaggio.

[anto_zoolander]

Ciao vict
Infatti ho proprio mostrato che l’operatore è una contrazione su uno spazio metrico completo.

Il punto 1. Mostra che l’operatore va da $D^infty$ a $D^infty$ che è uno spazio completo
Il punto 2. Che è una contrazione poiché $Ldelta<1$

@mobley
Mi hai fatto prendere un colpo

[vict85]

Ok, quindi il "Questo conclude la dimostrazione" voleva dire "Si conclude usando il teorema delle contrazioni e osservando che...".

In ogni caso, l'integrale di una funzione \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n\) definita come \(x\mapsto (f_1x,\cdots, f_nx)\) è definito come il vettore degli integrali delle funzioni \(f_i\).

Riguardo alla seconda domanda, lo puoi fare per la definizione di \(M\) e per le proprietà di \(f\).

[anto_zoolander]

Nel punto due mi riferivo non tanto alla liceità della maggiorazione,che segue appunto dalle osservazioni precedenti e dalle proprietà della funzione, quanto al fatto che dimostro principalmente che quelle disuguaglianze sono vere per ogni $x in I_delta$ e pertanto posso passare al sup ottenendo la disuguaglianza nelle norme infinito.