poniamo $y =arcsin(x)$
Sappiamo che
$sin^2(y)+cos^2(y)=1$
ovvero
$sin(arcsin(x))*sin(arcsin(x))+cos^2(arcsin(x))=1$
ora, essendo evidentemente $sin(arcsin(x))=x$
otteniamo subito
$cos^2(arcsin(x))=1-x^2$
che è come dire
$cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)$
fine
In modo del tutto simile puoi divertirti a dimostrare anche le altre relazioni note:
$sin (arc cos(x))$
$sin(arctan(x))$
$cos(arctan(x))$