Esercizio, distanza di una retta da un piano

[giulio0]

. Fissato nello spazio della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si considerino la rette ${ ( x − 2y + z = 1 ),( 2x − y + 2z = −1 ):}$ e il piano $α : x − 2y + 2z − 3 = 0$ .
(i) Determinare la distanza tra r e α.

Vorrei sapere se ho fatto bene:

- Riscrivo in formula parametrica:

${(x = -z + 2t),(y = t),(z = -x + t/2):}$ -> sostituisco z ad x e viceversa -> ${(x = 0),(y = t),(z = 0):}$

- Sostituisco il punti trovati nell'equazione del piano e trovo:

$ 0 + -2t + 0 - 3 = 0 -> t = -3/2$

Concludo che che la distanza sia nulla perché interseca nel punto P(0, -3/2, 0).

P.S. Se non interseca quando sostituisco nell'equazione del piano esce un risultato indeterminato per esempio 0 = 0 ?

[giovx24]

prova a sostituire le coordinate del punto che hai trovato nell'equazione della retta

[giulio0]

Ho rifatto i conti ed ho trovato la giusta soluzione che sarebbe (-3,-1, 2), ho pure fatto la verifica ed è tutto ok.

P.S. per chi dovesse vedere il post in futuro: il ragionamento è corretto

[Bokonon]

Per chi dovesse leggerlo in futuro e si chiedesse come sia possibile che ${(x = 0),(y = t),(z = 0):}$ ovvero che la retta in questione sia l'asse delle Y quando è evidente che non lo è e che non passa nemmeno per l'origine, la parametrizzazione corretta è $ {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) + ( ( -1 ),( -1 ),( 0 ) ) $

Aggiungo che, anche in futuro, un modo semplice e veloce per controllare se la retta sia sghemba o incidente il piano, basta risolvere il sistema con quelle tre equazioni. Meglio se usando strumenti dell'algebra lineare come Gauss-Jordan.
Partendo dal sistema completo si arriva alla soluzione in esattamente tre passaggi:
$ ( ( 1 , -2 , 1 , 1 ),( 2 , -1 , 2 , -1 ),( 1 , -2 , 2 , 3 ) ) rArr ( ( 1 , 0 , 0 , -3 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) $
e la soluzione appare magicamente nell'ultima colonna e la distanza minima quindi è 0.
In caso il sistema dia infinite soluzioni, allora la retta giace sul piano e la distanza minima quindi è 0.
Nel caso non vi sia soluzione allora la retta non interseca il piano...ma visto che siamo in $R^3$, l'unico modo in cui possa accadere ciò è che la retta sia parallela al piano, quindi la distanza è costante. Basta prendere un qualsiasi punto della retta e usare la formula della distanza retta/piano.