Provo a trasmetterti un modo di ragionare che funziona praticamente sempre; cambia solo il modo di applicarlo.
Bisogna guardare principalmente due cose
1. il dominio iniziale della funzione
2. ciascun pezzo che compone la funzione
lavoro sulla seconda; dopo mi fai vedere se hai capito con la prima
l'insieme di definizione più grande per la funzione $f(x,y)=(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)$ è $RR^2setminus{0}$
quindi la domanda che ci si può porre è se la funzione si può estendere ad una funzione continua su $RR^2$
i pezzi che compongono la funzione sono $f_1(x,y)=(e^abs(xy)-1)^2$, $f_2(x,y)=x^2+y^2$ e poi se ne considera
$f(x,y)=(f_1(x,y))/(f_2(x,y))$
la funzione $f_1$ è la composizione delle funzioni $g(z)=(e^abs(z)-1)^2$ e $h(x,y)=xy$
le funzioni $h:RR^2->RR$ e $g:RR->RR$ sono entrambe continue e quindi la loro composizione lo è anche
pertanto $f_1=gcirch:RR^2->RR->RR$ è continua in $RR^2$ e pertanto anche in $RR^2setminus{0}$
la funzione $f_2$ è semplicemente la norma al quadrato di un vettore che è sempre continua; basta ricordare che in generale una norma è continua nella topologia che induce; lo sarà ancor di più in $RR^2setminus{0}$
tirando ancora in ballo i teoremi sui limiti sappiamo che se $f_2$ è una funzione continua che non si annulla mai sul suo dominio allora la funzione $1/(f_2)$ è ancora continua, inoltre il prodotto di funzioni continue è "continuo" quindi
$f(x,y)=(f_1(x,y))/(f_2(x,y))=(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)$
è continua in $RR^2setminus{0}$
Può sembrare un ragionamento tortuoso ma se ci pensi si può fare tranquillamente a mente; basta osservare i vari pezzi della funzione
Per dimostrare che si può estendere per continuità ad $RR^2$ basta vedere se ammette limite in $(0,0)$
ora $lim_((x,y)->(0,0))(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)=lim_((x,y)->(0,0))((e^abs(xy)-1)/abs(xy))^2(x^2y^2)/(x^2+y^2)$
il primo pezzo tende ad $1$ in quanto $abs(xy)->0$(usa i limiti notevoli)
per quanto riguarda il secondo pezzo $y^2/(x^2+y^2)leq1$ e $x^2->0$ quindi funzione infinitesima per funzione limitata è infinitesima;
$lim_((x,y)->(0,0))x^2*y^2/(x^2+y^2)=0$
il limite di partenza è quindi $0$ e la funzione si può estendere ad una funzione continua su $RR^2$ come
$overline(f)(x,y):={(f(x,y) if (x,y) in RR^2),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
ora fammi vedere come svolgeresti la prima e dimostrami che scrivere tutto questo non è stato vano