Insieme di continuità di una funzione in più variabili

[Ricx]

Salve! ho una perplessità riguardo proprio l'insieme di continuità di una funzione in due variabili; mi è chiaro sia come detrminare un limite, come verificarlo ecc, ma non capisco io come dimostrare che una funzione è conitnua in tutti i punti di un insieme. Grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

Dipende; le casistiche che possono capitare sono tante
Proponi un esempio che ti crea difficoltà

[Ricx]

Ne propongo due:




in pratica l'esercizio (inparticolare questo d'esame) mi chiede di stabilire se sono continue in \( R^2 \)

[anto_zoolander]

Provo a trasmetterti un modo di ragionare che funziona praticamente sempre; cambia solo il modo di applicarlo.
Bisogna guardare principalmente due cose

1. il dominio iniziale della funzione
2. ciascun pezzo che compone la funzione

lavoro sulla seconda; dopo mi fai vedere se hai capito con la prima

l'insieme di definizione più grande per la funzione $f(x,y)=(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)$ è $RR^2setminus{0}$
quindi la domanda che ci si può porre è se la funzione si può estendere ad una funzione continua su $RR^2$

i pezzi che compongono la funzione sono $f_1(x,y)=(e^abs(xy)-1)^2$, $f_2(x,y)=x^2+y^2$ e poi se ne considera

$f(x,y)=(f_1(x,y))/(f_2(x,y))$

la funzione $f_1$ è la composizione delle funzioni $g(z)=(e^abs(z)-1)^2$ e $h(x,y)=xy$

le funzioni $h:RR^2->RR$ e $g:RR->RR$ sono entrambe continue e quindi la loro composizione lo è anche

pertanto $f_1=gcirch:RR^2->RR->RR$ è continua in $RR^2$ e pertanto anche in $RR^2setminus{0}$

la funzione $f_2$ è semplicemente la norma al quadrato di un vettore che è sempre continua; basta ricordare che in generale una norma è continua nella topologia che induce; lo sarà ancor di più in $RR^2setminus{0}$

tirando ancora in ballo i teoremi sui limiti sappiamo che se $f_2$ è una funzione continua che non si annulla mai sul suo dominio allora la funzione $1/(f_2)$ è ancora continua, inoltre il prodotto di funzioni continue è "continuo" quindi

$f(x,y)=(f_1(x,y))/(f_2(x,y))=(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)$

è continua in $RR^2setminus{0}$
Può sembrare un ragionamento tortuoso ma se ci pensi si può fare tranquillamente a mente; basta osservare i vari pezzi della funzione

Per dimostrare che si può estendere per continuità ad $RR^2$ basta vedere se ammette limite in $(0,0)$

ora $lim_((x,y)->(0,0))(e^abs(xy)-1)^2/(x^2+y^2)=lim_((x,y)->(0,0))((e^abs(xy)-1)/abs(xy))^2(x^2y^2)/(x^2+y^2)$

il primo pezzo tende ad $1$ in quanto $abs(xy)->0$(usa i limiti notevoli)

per quanto riguarda il secondo pezzo $y^2/(x^2+y^2)leq1$ e $x^2->0$ quindi funzione infinitesima per funzione limitata è infinitesima;

$lim_((x,y)->(0,0))x^2*y^2/(x^2+y^2)=0$

il limite di partenza è quindi $0$ e la funzione si può estendere ad una funzione continua su $RR^2$ come

$overline(f)(x,y):={(f(x,y) if (x,y) in RR^2),(0 if (x,y)=(0,0)):}$

ora fammi vedere come svolgeresti la prima e dimostrami che scrivere tutto questo non è stato vano

[Ricx]

Ho capito, in pratica si dimostra la continuità per composizione di funzioni continue. Così come per la prima che è definita in tutto \( R^2 \) posso dire che la funzione radice a esponente dispari è continua e lo è pure la funzione al suo interno, e per questo è ''globalmente'' continua, giusto?

[anto_zoolander]

Esattamente!

[Ricx]

Grazie mille!