Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Ricx » 15/06/2019, 19:22

Salve! chiedo a voi del forum un chiarimento sulla differenziabilità di una funzione in due variabili ed in particolare sulla verifica. Mi spiego meglio: devo verificare la differenziabilità di una funzione su un punto dato \( (x_0, y_0) \) e volevo farlo evitando la definizione e usando il teorema del differenziale che afferma che una funzione è differenziabile su un punto se le sue derivate parziali sono continue in quel punto. Ma una volta calcolate le due derivate mi accorgo che non sono proprio definite sul punto \( (x_0, y_0) \) . Quindi mi chiedo, la funzione non è differenziabile? oppure in questo caso il teorema non porta a niente e devo provare altre strade? Grazie in anticipo!
Ricx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 42
Iscritto il: 15/06/2019, 17:00
Località: Napoli

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Vidocq » 15/06/2019, 19:50

La proposizione che hai citato (in modo incompleto), e' una condizione sufficiente per la differenziabilità, ma non necessaria.
Nell'oscurità l'immaginazione lavora più attivamente che in piena luce. (Immanuel Kant)
Avatar utente
Vidocq
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 180 di 560
Iscritto il: 25/03/2019, 20:39
Località: Trantor

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda gabriella127 » 15/06/2019, 20:34

Per la verità, è vero che la continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente, ma non necessaria per la differenziabilità, ma la derivabilità della funzione in un punto è condizione necessaria della differenziabilità.
Se qualcuna delle derivate parziali in quel punto non esiste, allora la funzione non può essere differenziabile in quel punto.

La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.
Se una funzione $f$ è differenziabile in un punto $x_o$, allora è derivabile in $x_0$ in tutte le direzioni.

Infatti, preso un vettore di modulo unitario $v$, per la definizione di derivata direzionale e di differenziabilità di $f$:

$ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0))/t= $ $ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/t-L(v)=L(v) $ ,

dove $L(v)$ il differenziale calcolato in $v$.
Otteniamo quindi che $D_vf(x_0)=L(v)$,
(dove $D_vf(x_0)$ è la derivata di $f$ nella direzione $v$ in $x_0$).
gabriella127
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 832 di 6876
Iscritto il: 16/06/2013, 15:48
Località: roma

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Vidocq » 15/06/2019, 20:56

gabriella127 ha scritto:La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.


In generale, non vale l'implicazione inversa.
Nell'oscurità l'immaginazione lavora più attivamente che in piena luce. (Immanuel Kant)
Avatar utente
Vidocq
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 181 di 560
Iscritto il: 25/03/2019, 20:39
Località: Trantor

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda gabriella127 » 15/06/2019, 21:20

Of course.
gabriella127
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 833 di 6876
Iscritto il: 16/06/2013, 15:48
Località: roma

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Ricx » 16/06/2019, 16:41

Quindi la non derivabilità della funzione su un punto basta a dire che la funzione non è differenziabile su quel punto?
Vi faccio un esempio più pratico:
Questa funzione è differenziabile in \( (0,0) \) ?

\( \sqrt[3]{x^2y} \)
Ricx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 42
Iscritto il: 15/06/2019, 17:00
Località: Napoli

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Mephlip » 16/06/2019, 17:33

Ricx ha scritto:Quindi la non derivabilità della funzione su un punto basta a dire che la funzione non è differenziabile su quel punto?

Certamente, perché differenziabile implica derivabile; quindi se una funzione non è derivabile non è neanche differenziabile.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 400 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Differenziabilità di una funzione

Messaggioda Vidocq » 16/06/2019, 17:42

Nell'oscurità l'immaginazione lavora più attivamente che in piena luce. (Immanuel Kant)
Avatar utente
Vidocq
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 182 di 560
Iscritto il: 25/03/2019, 20:39
Località: Trantor


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite