da gabriella127 » 15/06/2019, 20:34
Per la verità, è vero che la continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente, ma non necessaria per la differenziabilità, ma la derivabilità della funzione in un punto è condizione necessaria della differenziabilità.
Se qualcuna delle derivate parziali in quel punto non esiste, allora la funzione non può essere differenziabile in quel punto.
La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.
Se una funzione $f$ è differenziabile in un punto $x_o$, allora è derivabile in $x_0$ in tutte le direzioni.
Infatti, preso un vettore di modulo unitario $v$, per la definizione di derivata direzionale e di differenziabilità di $f$:
$ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0))/t= $ $ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/t-L(v)=L(v) $ ,
dove $L(v)$ il differenziale calcolato in $v$.
Otteniamo quindi che $D_vf(x_0)=L(v)$,
(dove $D_vf(x_0)$ è la derivata di $f$ nella direzione $v$ in $x_0$).