[Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Cantor99 » 14/06/2019, 13:05

Salve, ho un sistema olonomo a $n$ gradi di libertà composto da $\nu$ corpi rigidi occupani un volume ciascuno di densità $\rho_{i}$ e occupante un volume $C_{i}$. L'energia cinetica si può scrivere come somma di tre contributi fra cui
\[
\mathrm{T}_{2}=\frac{1}{2}\sum_{h,k=1}^{n}a_{hk}\dot q_{h}\dot q_{k}
\]
essendo
\[
a_{hk}=a_{kh}=\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\frac{\partial P}{\partial q_{k}}\rho_{i}dC_{i}
\]
Devo far vedere che la matrice dei coefficienti $||a_{hk}||$ è non singolare. Il libro (Rionero, Lezioni di Meccanica Razionale, pag 303, (49)) scrive l'uguaglianza
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}(\delta P)^{2}\rho_{i}dC_{i}=\sum_{h,k=1}^{n}a_{hk}\delta q_{h}\delta q_{k}
\end{equation}
Come si prova la (1)? (premetto che ho problemi con gli spostamenti virtuali!)
Cantor99
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Nikikinki » 15/06/2019, 12:05

E' la definizione di spostamento virtuale

$\deltax_i=\sum_(k=1)^n (\partialx_i)/(\partialq_k) \deltaq_k$

Quindi nel tuo caso partendo da

$a_{hk}=\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\frac{\partial P}{\partial q_{k}}\rho_{i}dC_{i} $

moltiplico a destra e sinistra per $\deltaq_h\deltaq_k$ che possono essere portati nell'integrale

$a_{hk}\deltaq_h\deltaq_k=\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\frac{\partial P}{\partial q_{k}}\deltaq_h\deltaq_k rho_{i}dC_{i} =\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\deltaq_h \frac{\partial P}{\partial q_{k}} \deltaq_k \ rho_{i}dC_{i} $

sommo sugli h e k ed anche questa sommatoria non dà problemi ad essere portata nell'integrale

$\sum_(h,k)a_{hk}\deltaq_h\deltaq_k=\sum_(h,k)\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\deltaq_h \frac{\partial P}{\partial q_{k}} \deltaq_k \ rho_{i}dC_{i} =\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\sum_(h,k)\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\deltaq_h \frac{\partial P}{\partial q_{k}} \deltaq_k \ rho_{i}dC_{i}$

Ovvero


$\sum_(h,k)a_{hk}\deltaq_h\deltaq_k=\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\sum_h\frac{\partial P}{\partial q_{h}}\deltaq_h \sum_k \frac{\partial P}{\partial q_{k}} \deltaq_k \ rho_{i}dC_{i} = \sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}\delta P \deltaP \rho_{i}dC_{i} =\sum_{i=1}^{\nu}\int_{C_{i}}(\delta P)^{2}\rho_{i}dC_{i}$

Che è la relazione usata dal libro.
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Cantor99 » 15/06/2019, 16:12

Chiarissimo, posso chiederti di aiutarmi a concludere?
Il libro dalla (1) ricava che la forma quadratica a secondo membro si annula se e solo se $\delta P=0$ in tutto $C$, cioè se e solo se si annullano le $\delta q_{h}$. Continua dicendo che altrettanto avviene per $T_{2}$ e - per il teorema di Eulero sulle funzioni omogene -
\[
\frac{1}{2}\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial \mathrm{T}_{2}}{\partial \dot q_{h}}\dot q_{h}=\frac{1}{2}2\mathrm{T}_{2}=\mathrm{T}_{2} \qquad \qquad \qquad (2)
\]
il sistema
\[
\frac{\partial \mathrm{T}_{2}}{\partial \dot q_{h}}=\sum_{h=1}^{n}a_{hk}\dot q_{k} \quad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3)
\]
deve ammettere soltanto la soluzione nulla, il che implica $\det ||a_{hk}||\ne0$

I miei dubbi sono
a) Il fatto che $T_{2}$ sia definita positiva discende dalla (1) perché $\sum_{h,k=1}^{n}a_{hk}\delta q_{h}\delta q_{k}=\delta T_{2}$ (non so se la notazione sia corretta!)
b) la (3) è stata ricavata derivando la (2) rispetto $\dot q_{h}$?
c) Perché vi deve essere la sola soluzione nulla? non capisco il collegamento...

Grazie in anticipo
Cantor99
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Nikikinki » 16/06/2019, 08:38

a) Se è un'energia cinetica dovrebbe essere definita positiva per ipotesi, anche se non so da dove parta questo conto non potrei dirlo con certezza solo con un estratto. Ad ogni modo la $(1)$ ci dice abbiamo un valore nullo e poi qualunque altro valore è positivo, quindi in effetti non può che essere definita positiva.

b) Sappiamo che

$T_2=1/2 \sum_(hk) a_(hk) \dot(q_h)\dot(q_k)$ e dal teorema di eulero è stato ricavanto anche che

$T_2=1/2\sum_h (\partialT_2)/(\partial\dotq_h)\dotq_h$

L'uguaglianza tra queste due equazioni impone il vincolo sull'uguaglianza anche di quello che ho messo tra le parentesi quadre

$1/2 \sum_h [\sum_k a_(hk) \dot(q_k)]\dot(q_h)=1/2\sum_h [(\partialT_2)/(\partial\dotq_h)]\dotq_h$ da cui la relazione $(3)$
(che però hai riportato come somma su h, il che non avrebbe senso; è una tua svista o è così sul libro?)

c)Proprio il fatto che la sommatoria sia su k e non su h significa che la variazione di $T_2$ rispetto alle $\dotq_h$ è uguale ad una somma di termini dipendenti contemporaneamente da tutti (e solo) i $\dotq_k$ per ogni tempo il che può essere solo se l'unica soluzione è quella identicamente nulla.

Queste sono le risposte che darei io, almeno.
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Cantor99 » 16/06/2019, 16:36

Le prime due risposte sono molto chiare, e sì, lì ci va la $k$. Io non capisco una cosa, sarà una banalità, ma quel sistema non è omogeneo, come fa ad esserci una soluzione nulla??
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Nikikinki » 17/06/2019, 06:22

Forse l'ho detto in modo poco chiaro, ci riprovo. Abbiamo appurato che $T_2$ è una forma quadratica positiva, ovvero, in particolare, che $T_2=0$ se e solo se $\dotq_1=\dotq_2=…=\dotq_n=0$ per definizione . Da questa viene fuori la soluzione nulla di quel sistema. Il punto è che è anche unica poiché la $(3)$ non potrà mai essere vera per qualsiasi tempo a meno che, appunto, le $\dotq$ non siano tutte nulle, da cui il fatto che la matrice di coefficienti abbia rango massimo e quindi determinante non nullo.
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Cantor99 » 17/06/2019, 11:04

Vediamo se ho capito bene: ho queste implicazioni
\[
\dot{q}=0 \Leftrightarrow T_{2}=0 \Rightarrow \frac{\partial T_{2}}{\partial q_{h}}=0 \quad \forall h
\]
Quindi per il sistema (3) ho
\[
\frac{\partial T_{2}}{\partial q_{h}}=0 \quad \forall.h \Rightarrow \dot q=0
\]
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Nikikinki » 17/06/2019, 12:09

Le derivate sono rispetto a $\dotq$, comunque sì il concetto è quello anche se un po' ridondante.
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Re: [Fisica Matematica] L'energia cinetica come forma quadratica

Messaggioda Cantor99 » 17/06/2019, 16:00

Sisi sono rispetto $\dot q_{h}$.

Se il concetto è quello, penso di aver capito. Adesso rileggo con calma i tuoi interventi

Grazie mille
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