Volume di un Solido

[jacques_leen]

Ciao a tutti avrei una domanda relativa a questo esercizio che mi viene assegnato

sia E il solido
$E = \{ x,y \geq 0; x+y\leq 2; 0\leq 2z\leq 4-x^2-y^2\}$
trovarne il volume

Il solido è un paraboloide rovesciato con vertice in (0,0,2) che ha intersezione con il piano x+y -2 = 0. ho pensato dunque di integrare per fili rispetto a z considerando che gli estremi di integrazione sono noti

ottengo dunque un integrale rispetto a un dominio sul piano che però non riesco assolutamente a definire

$\int\int_{D} (2- x^2/2 -y^2/2)dx dy$

se non avessi il "problema" del taglio dovuto al piano si tratterebbe di una crf con centro nell'origine e di raggio 2. Chiaramente non è questo il caso... Ho pensato di non integrare per fili allora, e passando alle coordinate cilindriche ottengo che $0 \leq z \leq 2 -r^2/2 ; 0\leq r \leq 2/(cos(t)+sin(t)); 0\leq t\leq 2\pi $.
La seconda delle tre condizioni però rende l'integrale intrattabile.

Non ho idea di dove andare a sbattere la testa con questo problema

[giovx24]

ciao,
seguendo la prima soluzione, se provi a disegnarti la retta $y=−x+2$ si vede che la $x$ deve variare tra $0$ e $2$ mentre la $y$ tra $0$ e $2−x$

[jacques_leen]

ciao,
seguendo la prima soluzione, se provi a disegnarti la retta $y=−x+2$ si vede che la $x$ deve variare tra $0$ e $2$ mentre la $y$ tra $0$ e $2−x$

che sciocco che sono ... sempre a cercare una descrizione del dominio in coordinate polari e avevo la soluzione letteralmente scritta di fronte :/

Grazie Mille