Dubbio esercizio su campo conservativo

Messaggioda Elia1999 » 16/06/2019, 15:08

Salve, stavo vedendo lo svolgimento di questo esercizio :

Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y)=(\frac {2x} {x^2+4y^2}, \frac {1} {2\sqrt {y+8}}+\frac {8y} {x^2+4y^2}) \)
a) determinare il dominio massimale \(\displaystyle DcR^2 \) in cui F è ben definito di classe \(\displaystyle C^1 \)
b) verificare che F è irrotazionale in D
c) stabilire a priori se F è conservativo in D
d) se la risposta (c) è positiva, calcolare un potenziale per F

Ora il primo ed il secondo punto li ho fatti e sono giusti, il problema è quando devo stabilire se è conservativo o meno. Ho che il campo è irrotazionale ma il dominio di F non è semplicemente connesso quindi non si può dedurre da ciò che il campo è conservativo. Sullo svolgimento dell'esercizio viene scelta una curva \(\displaystyle \gamma \) parametrizzata da :

\(\displaystyle \begin {cases} x(t)=2cos(t) \\ y(t)=sen(t) \end {cases} \) \(\displaystyle t\in [0,2\pi] \)

e viene svolto un integrale di seconda specie. La mia domanda è in base a cosa scelgo la curva ?
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Re: Dubbio esercizio su campo conservativo

Messaggioda anto_zoolander » 16/06/2019, 16:32

In base alla forma del tuo campo vettoriale.
I termini $x^2+4y^2$ urlano “integrami lungo una ellisse”
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Re: Dubbio esercizio su campo conservativo

Messaggioda Elia1999 » 16/06/2019, 17:18

Quindi nel caso io avessi \(\displaystyle F=(\frac {4x} {2x^2+3y^2}-e^{-x}, \frac {6y} {2x^2+3y^2})\) la curva sarebbe :

\(\displaystyle \begin {cases} x=\sqrt {3}cos(t) \\ y=\sqrt {2}sen(t) \end {cases} \)
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Re: Dubbio esercizio su campo conservativo

Messaggioda anto_zoolander » 16/06/2019, 17:35

Sarebbe una buona idea :-D
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