Buona sera a tutti, ho un dubbio con il seguente esercizio di un testo d'esame,
che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio in coordinate polari:
$ int int_(D) y e^{frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}} dx dy $ con $ D $ delimitato da $ x^2+y^2-2x=0 $, $ y = 0 $ e $ x^2+y^2=1 $ contenuto nel IV quadrante.
Quindi passando a coordinate polari $ { ( x = rho cos vartheta ),( y = rho sin vartheta ):} $ con polo nell'origine,
quindi mi scrivo il nuovo dominio $ Gamma { ( 0 <= rho <= 2cosvartheta ),( 3/2pi <= vartheta <= 2pi ):} $
Ed ottengo $ int int_(Gamma) rhosinvartheta e^{frac{rhocosvartheta}{sqrt{rho^2cos^2vartheta + rho^2sin^2vartheta}}} rhodrhodvartheta $ e quindi $ int_(3/2pi)^(2pi) int_(0)^(2cosvartheta) rho^2sinvartheta e^cosvartheta drhodvartheta $
Secondo voi è giusto? Grazie in anticipo a chi mi risponderà!