Composizione differenziabile

[3m0o]

Premessa che sono stanco e tralasciamo che ho confuso lineare con affine ho pure malinterpretato il tuo messaggio...
l'avevo interpretato come dimostra 1) continua 2) lipschitz 3) ... come punti separati e non dimostra che continuita equivalente a norma spettarle un numero reale etc..
Detto ciò \( \frac{1}{L} \) non ha molto senso, \( L \) è una matrice. Domani con più freschezza ci riprovo

[anto_zoolander]

No $1/L$ è un numero; l’ho definito come $L:=2/delta$ per sottintendere il simbolo usuale che si usa per la costante di Lipschitz

Non ho preso la tua applicazione $T(x)=Lx$ perché non avrebbe senso parlare di matrice rappresentativa se gli spazi hanno dimensione finita; il mio operatore è generico e non ha una “forma”

btw la dimostrazione che ho fatto si trova pari pari sul libro "Undegraduate Analysis" di Serg Lang a pag. 455 e questo sarebbe il motivo per cui quel termine è limitato nella dimostrazione del tuo prof.

[dissonance]

se \( Df(x_0) \) fosse continua possiede un massimo sulla sfera unitaria che coincide con il sup. Ma cosa mi assicura che \( Df(x_0) \) continua?

Bravo, hai centrato il punto ed è una cosa importante. Anto sta facendo un po' di "spoilers" di analisi funzionale, ma se (come credo) hai poco tempo e molto da fare, fai un ragionamento più concreto e veloce.

La scrittura \(y=Df(x_0)x\) denota il prodotto di una matrice per il vettore \(x\in\mathbb R^n\). Potrà mai essere una funzione non continua di \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\)? No, perché ogni entrata di \(y\) è della forma \(a_{j1}x_1+\ldots+a_{n1}x_n\), dove \(a_{ij}\) sono dei numeri fissati. Si tratta di un polinomio, peraltro di primo grado, è sicuramente una funzione continua.

Chiaro, se passi a spazi di dimensione infinita il discorso è più complicato. In quel caso si fa una telefonata ad anto_zoolander e gli si chiede di spiegarci gli operatori limitati. Ma per il momento, pensare ai polinomi è sufficiente.

[anto_zoolander]

@peppe

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sei cattivo
Queste cose le ho fatte per conto mio

[3m0o]

Grazie si, chiaro!
Per anto, comunque non ho dimenticato quello che mi hai detto di dimostrare, è che essendo in periodo esami ed essendo un po' con l'acqua alla gola, ho preferito dare precedenza alle cose che potenzialmente ci verrano richieste. Ma finito periodo esami ci riprovo.

[dissonance]

@peppe
sei cattivo
Queste cose le ho fatte per conto mio

Hai fatto bene. Ma io lo sapevo, se uno sta preparando una barca di esami difficili, a breve scadenza, l'ultima cosa di cui ha bisogno è di un forum che gli proponga ancora più esercizi, ancora più informazioni.