Dimostrazione massimo sul bordo

[3m0o]

Siano \( a \in \mathbb{R}^2 \) e \( \delta \in \mathbb{R}_+^* \) e \( f \in C^2 ( \bar{B}(a,\delta),\mathbb{R}) \)
1) Supponiamo che \( \forall (x,y) \in B(a,\delta) \)
\( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } >0 \)

dimostra che \( f \) raggiunge il massimo su \( \partial B(a,\delta) \)

2) Stessa domanda del punto 1 ma \( \forall (x,y) \in B(a,\delta) \)
\( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } \geq 0 \)

Indicazione: Applicare, per \( \epsilon \in \mathbb{R}_+^* \) il risultato del punto precedente alla funzione \( \tilde{f}(x,y)=f(x,y)+ \epsilon(x^2+y^2 ) \)

Io ho fatto così
Innanzitutto sapendo che la funzione è \( C^2 \) e in particolare continua su un compatto abbiamo che esiste \( x_m \) e \( x_M \) tale che \( f(x_m)=\min_{ x \in \bar{B}(a,\delta)} f(x) \), e \( f(x_M)=\max_{ x \in \bar{B}(a,\delta)} f(x) \)
1) Supponiamo per assurdo che il massimo non si trova bordo. Questo vuol dire che esiste \( \tilde{\delta} >0 \) tale che \( \forall v \in \mathbb{R}^n \cap \bar{B}(a,\delta) \) tale che \( \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = 1 \) allora \( f(x_M + t v) \leq f(x_M) \) per ogni \( t \in ]- \tilde{\delta}, \tilde{\delta} [ \).
Definiamo \( g_{x_M,v} := t \to f(x_M + t v) \) , per ogni \( t \in ]- \tilde{\delta}, \tilde{\delta} [ \).
Visto che per ipotesi abbiamo \( x_M \) massimo di \( f \) allora \( 0 \) è un massimo di \( g_{x_M,v} \) per ogni \( v \). E in particolare per ogni \( v \) abbiamo che
\( g''_{x_M,v}(0) = D_v f(x_M) < 0 \), in particolare per \( e_1 \) e per \( e_2 \) dunque
\( g''_{x_M,x}(0) + g''_{x_M,y}(0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 }(x_M) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 }(x_M) < 0 \)
Contraddizione con le ipotesi, assurdo!

2) Per il punto 2 farei esattamente la stessa cosa, non vedo il problema. E non capisco come utilizzare l'indicazione

Va bene secondo voi?

[dissonance]

Il problema è che la derivata seconda di \(g_{x_M, v}(t)\) potrebbe annullarsi. La funzione \(1-t^4\) ha un massimo in \(t=0\), ma la sua derivata seconda si annulla. Per il punto 1, non è un problema, perché comunque una derivata nulla contraddice l'ipotesi. Ma per il punto 2, non è sufficiente, potrebbe annullarsi tutto e non esserci nessuna contraddizione.

[3m0o]

Hai ragione.. vero!

[dissonance]

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Vabbé ma tanto ormai non ti interessa più, visto che hai già fatto l'esame.

[3m0o]

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Vabbé ma tanto ormai non ti interessa più, visto che hai già fatto l'esame.

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Ma no... io non studio matematica per gli esami... studio matematica perché mi piace e mi affascina quindi... è vero che ora ho altri esami da fare e non ci penserò più per il momento, ma finiti comunque non è che chiudo libri e quaderni di analisi 2 e chi si è visto si è visto! Capire una cosa a prescindere dall'aver fatto o dal dover fare un esame.