Integrale complesso

[mobley]

Sperando di non essere nuovamente bloccato…

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

suppongo sia successo perchè da regolamento avrei dovuto mettere un tentativo di soluzione, ma non avendo alcuna idea sul perchè della nullità dell'integrale non vedo cosa avrei dovuto scrivere

…vi chiedo: perchè vale

$ e^(-iux)|_(k)^(\infty)=lim _(\mathbb(R)->\infty)e^(-iu\mathbb(R))-e^(-iuk) $

Evidentemente il ragionamento è lo stesso per il post che mi è stato bloccato ma anche qui non ho idea di come si arrivi a tale conclusione e, soprattutto, perchè. Se avessi anche una seppur minima idea non avrei problemi a postare qui il mio ragionamento, ma non avendone non saprei proprio cosa inventarmi

Spero possiate comunque darmi una mano! Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Moderatore: gugo82

Il thread precedente è stato bloccato perché era "vuoto".
Ed un utente con più di 360 post all'attivo dovrebbe sapere che cos'è del genere non sono consentite.

Per il resto, se pretendi di calcolare integrali (ed, in generale, usare degli strumenti matematici) senza avere l'accortezza di studiare come il calcolo venga fatto (ed, in generale, le definizioni e la teoria su cui gli strumenti si basano) è ovvio che ti troverai sempre nella stessa situazione.

Come sono definiti gli integrali impropri?
Che integrale stai calcolando con quella formula?

[mobley]

Moderatore: gugo82

Il thread precedente è stato bloccato perché era "vuoto".
Ed un utente con più di 360 post all'attivo dovrebbe sapere che cos'è del genere non sono consentite.

Per il resto, se pretendi di calcolare integrali (ed, in generale, usare degli strumenti matematici) senza avere l'accortezza di studiare come il calcolo venga fatto (ed, in generale, le definizioni e la teoria su cui gli strumenti si basano) è ovvio che ti troverai sempre nella stessa situazione.

Come sono definiti gli integrali impropri?
Che integrale stai calcolando con quella formula?

Grazie per la risposta gugo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Capisco il fatto che fosse vuoto ma, ripeto, non avrei saputo cosa scrivere dato che non ho idea del perché si annulli. Il docente ci ha solo detto (cito testualmente) che "si annulla per il teorema dei residui, ma quanto vi dico ora prendetelo come una favoletta perché per il fine che ci poniamo non è importante". Tuttavia reputandomi uno studente appassionato di ciò che studio avevo tutta l'intenzione di capire il perchè di tale nullità.

Beh… Wikipedia docet: un integrale improprio è limite di un integrale definito al tendere di uno od entrambi gli estremi di integrazione a valori reali oppure infiniti. E l'integrale che sto cercando di calcolare è $ -1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\psi(u))/(iu)[e^(-iux)]_(k)^(+\infty)du $, con $\psi(u)$ trasformata di Fourier.

[mobley]

Altro problema. Proseguendo con la dimostrazione, dopo aver applicato Fubini per l'inversione dell'ordine di integrazione e l'identità di Eulero fissato $x=u(x-\mathbb(R))$, si ottiene:

$\int_(-\infty)^(+\infty)f(x)[\int_(-\infty)^(+\infty)(cos[u(x-\mathbb(R))])/(iu)+(sin[u(x-\mathbb(R))])/(u)du]dx$

Ora, se il secondo integrale è un'integrale di Dirichlet per $\alpha=u$ e (appunto) $x=u(x-\mathbb(R))$ che per definizione corrisponde al $sgn(x-\mathbb(R))\cdot \pi$, non capisco perchè il primo integrale si annulla.

[gugo82]

"WIKIpedia" non docet.
"Articoli di ricerca" non docent.
Libri docent.

Il fatto che un docente non citi per bene la teoria in aula suppone che lo studente (che ha una certa maturità scolastica, ormai) se la vada a vedere da solo.
La teoria non si studia dalle dispense, non da WIKIpedia, né dagli articoli di ricerca, ma dai testi.
Qual è il tuo libro di Analisi Complessa?
Qual è il tuo libro di Analisi Reale/Teoria dell'Integrazione?

Inoltre, non hai capito quello che ti ho chiesto.
Non mi interessa nulla del contesto in cui il simbolo $e^(-iux)|_k^oo$ è inserito. Mi serve sapere cosa indica.
Un integrale improprio, immagino... Ma quale? Non l'hai scritto da nessuna parte.

Infine, "proseguendo con la dimostrazione"... Ma quale dimostrazione?
Visto che gli utenti del forum non sono suppellettili della tua scrivania, devi supporre che non sappiano cosa stai leggendo.


P.S.: Il simbolo $RR$ denota il campo reale. Per favore, evita di usarlo a sproposito.

[mobley]

"WIKIpedia" non docet.
"Articoli di ricerca" non docent.
Libri docent.

Il fatto che un docente non citi per bene la teoria in aula suppone che lo studente (che ha una certa maturità scolastica, ormai) se la vada a vedere da solo.
La teoria non si studia dalle dispense, non da WIKIpedia, né dagli articoli di ricerca, ma dai testi.
Qual è il tuo libro di Analisi Complessa?
Qual è il tuo libro di Analisi Reale/Teoria dell'Integrazione?

Inoltre, non hai capito quello che ti ho chiesto.
Non mi interessa nulla del contesto in cui il simbolo $e^(-iux)|_k^oo$ è inserito. Mi serve sapere cosa indica.
Un integrale improprio, immagino... Ma quale? Non l'hai scritto da nessuna parte.

Infine, "proseguendo con la dimostrazione"... Ma quale dimostrazione?
Visto che gli utenti del forum non sono suppellettili della tua scrivania, devi supporre che non sappiano cosa stai leggendo.


P.S.: Il simbolo $RR$ denota il campo reale. Per favore, evita di usarlo a sproposito.

Temo tu non abbia capito: non abbiamo MAI FATTO analisi complessa, non abbiamo MAI FATTO Fourier e company, non abbiamo MAI FATTO integrali impropri, non abbiamo MAI FATTO il teorema dei residui. Mai. E il docente ha "dato per scontato che noi conoscessimo questi argomenti". Va bene la maturità dello studente, ma qui si tratta di studiare da soli argomenti complessi senza avere basi di matematica tali da permetterlo. Dunque permetterai che cerchi su Wikipedia, dispense, testi o articoli? Sfido chiunque, senza basi universitarie tipiche della facoltà di matematica (perché io non studio matematica, ripeto), ad alzarsi la mattina e dire "ok oggi vado in libreria e mi compro un libro di analisi complessa" e capire quello che si sta dicendo. Mia sorella, con esami di Fisica 1 e 2, non aveva la più pallida idea di cosa stessi parlando.

Tornando IT… L'integrale da cui parte tutto l'ho già scritto nel mio secondo post, ed è $ 1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iuk)du1/(2\pi)lim_(\mathbb(R)->\infty)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)[e^(-iux)}_(k)^(+\infty)du $ . Si arriva poi ad ottenere $1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iuk)du-1/(2\pi)lim_(\mathbb(R)->\infty)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iu\mathbb(R))du$, da cui segue la formula nel mio post precedente. E siccome si conclude con $1/2lim_(\mathbb(R)->\infty)[1-2F(\mathbb(R))]=1/2$, non credo di averlo usato a sproposito anzi. Il suo utilizzo è centrale in tutto l'arco della dimostrazione.


L'unica cosa su cui concordo con tutto quello che hai scritto è il fatto di non aver detto cosa volevo dimostrare, il che in realtà non era nemmeno necessario per l'intento del post. Comunque voglio dimostrare la condizione qui descritta (https://www.politesi.polimi.it/bitstream/10589/108755/1/2015_07_Casati.pdf) a pag. 31, proposizione 3.13.

[gugo82]

"WIKIpedia" non docet.
"Articoli di ricerca" non docent.
Libri docent.

Il fatto che un docente non citi per bene la teoria in aula suppone che lo studente (che ha una certa maturità scolastica, ormai) se la vada a vedere da solo.
La teoria non si studia dalle dispense, non da WIKIpedia, né dagli articoli di ricerca, ma dai testi.
Qual è il tuo libro di Analisi Complessa?
Qual è il tuo libro di Analisi Reale/Teoria dell'Integrazione?

Temo tu non abbia capito: non abbiamo MAI FATTO analisi complessa, non abbiamo MAI FATTO Fourier e company, non abbiamo MAI FATTO integrali impropri, non abbiamo MAI FATTO il teorema dei residui. Mai. E il docente ha "dato per scontato che noi conoscessimo questi argomenti".

E nessuno ha mai sollevato il problema col docente? Come mai?
Nella scheda del corso, quali argomenti/conoscenze erano indicate come prerequisiti?
È un corso obbligatorio o “a scelta”? Nel primo caso, si dovrebbero incaricare i rappresentanti degli studenti in seno al consiglio di c.d.l. di proporre di rivedere l’organizzazione dei corsi di base; nel secondo, la “scelta” andava fatta con maggiore criterio.

Va bene la maturità dello studente, ma qui si tratta di studiare da soli argomenti complessi senza avere basi di matematica tali da permetterlo. Dunque permetterai che cerchi su Wikipedia, dispense, testi o articoli?

Permetto, figurati… Ma ti avverto che ci vorrà del tempo.
E poi ognuno è libero di scegliere di che morte morire.

Sfido chiunque, senza basi universitarie tipiche della facoltà di matematica (perché io non studio matematica, ripeto)[…]

La “facoltà di Matematica” non esiste. Esistono i corsi di laurea in Matematica.

[…] ad alzarsi la mattina e dire "ok oggi vado in libreria e mi compro un libro di analisi complessa" e capire quello che si sta dicendo.

Appunto.
Avresti dovuto seguire qualche corso di Matematica seria e dare qualche esame prima di metterti a fare certe cose. Altrimenti è come salire in cabina di un Boeing 747 e pretendere di pilotarlo avendo guardato solo un video su YouTube.

(Difatti, la roba che ti interessa l’hai trovata in una tesi di laurea magistrale in Ingegneria Matematica… E di Matematica seria se ne studia un po’ lì!)

Mia sorella, con esami di Fisica 1 e 2, non aveva la più pallida idea di cosa stessi parlando.

E cosa c’entrano Fisica 1 e 2 con quello di cui vorresti parlare?

Tornando IT… L'integrale da cui parte tutto l'ho già scritto nel mio secondo post, ed è $ 1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iuk)du1/(2\pi)lim_(\mathbb(R)->\infty)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)[e^(-iux)}_(k)^(+\infty)du $ . Si arriva poi ad ottenere $1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iuk)du-1/(2\pi)lim_(\mathbb(R)->\infty)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(u))/(iu)e^(-iu\mathbb(R))du$, da cui segue la formula nel mio post precedente. E siccome si conclude con $1/2lim_(\mathbb(R)->\infty)[1-2F(\mathbb(R))]=1/2$, non credo di averlo usato a sproposito anzi. Il suo utilizzo è centrale in tutto l'arco della dimostrazione.

Tutto molto bello, ma non risponde alla mia domanda.
Cosa indica $e^(-iux)|_k^oo$? È il “risultato” di qualche integrale? Se sì, quale?

[mobley]

E nessuno ha mai sollevato il problema col docente? Come mai?

Ci sono state evidentemente delle obbiezioni, ma molti preferiscono imparare a memoria una dimostrazione piuttosto che cercare di capire il motivo alla base di certi passaggi. Evidentemente questo thread testimonia come io non sia uno di questi.

Nella scheda del corso, quali argomenti/conoscenze erano indicate come prerequisiti?

Non c'è alcun riferimento in merito. Suppongo le materie che nell'ordine del piano di studi sono poste prima, ma nonostante le abbia date tutte in alcuni casi non è sufficiente.

Permetto, figurati… Ma ti avverto che ci vorrà del tempo.
E poi ognuno è libero di scegliere di che morte morire.

Non a caso mi rivolgo a voi, perchè su alcune cose non ho evidentemente una preparazione adeguata. E ritengo non per colpa dello studente.

Appunto.
Avresti dovuto seguire qualche corso di Matematica seria e dare qualche esame prima di metterti a fare certe cose. Altrimenti è come salire in cabina di un Boeing 747 e pretendere di pilotarlo avendo guardato solo un video su YouTube.

(Difatti, la roba che ti interessa l’hai trovata in una tesi di laurea magistrale in Ingegneria Matematica… E di Matematica seria se ne studia un po’ lì!)

Hai colto nel segno in quanto a matematica: ingegneria Matematica sta ad Ingegneria come il mio corso di laurea sta ad Economia.

E cosa c’entrano Fisica 1 e 2 con quello di cui vorresti parlare?

A quanto pare (e non avevo dubbi su questo) la trasformata di Fourier è di diffusa applicazione in Fisica.

Tutto molto bello, ma non risponde alla mia domanda.
Cosa indica $e^(-iux)|_k^oo$? È il “risultato” di qualche integrale? Se sì, quale?

Quell'integrale proviene dalla dimostrazione della proprietà di derivabilità della trasformata di Fourier:

$ hat(f^'(u)):=\int_(-\infty)^(+\infty)e^(iux)f(x)dx $

con $f(x)$ antitrasformata. Quindi integrando per parti si ottiene

$ e^(iux)f(x)|_(-\infty)^(\+infty)-\int_(-\infty)^(+\infty)iue^(iux)f(x)dx $

Il docente ci ha solo detto (cito) "di prenderlo come una favoletta" che si annulla per il teorema dei residui. Ecco, non avendolo fatto in nessun altro esame volevo giusto capirne qualcosa in più.

In ogni caso, l'introduzione della F-trasformata e delle sue proprietà ci servono per dimostrare la Formula 3.13 di pag. 31 qui descritta: https://www.politesi.polimi.it/bitstream/10589/108755/1/2015_07_Casati.pdf. La dimostrazione di tale condizione inizierebbe come segue. Per la definizione di antitrasformata di Fourier, noto che $k\in \mathbb(R)^+$ e che $\varphi (u)$ è la trasformata si ha:
$ P_j:=\mathbb(Q)(S>K)=\mathbb(Q)(ln (S)>\ln (K))=\int_(k)^(+\infty)f(x)dx=\int_(k)^(+\infty)1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-iux)\varphi (u)dudx $. Quindi per Fubini, e moltiplicando e dividendo per $-iu$, si ottiene $-1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi (u))/(iu)[e^(-iux)]_(k)^(+\infty)du$, che il docente svolge nel seguente modo:

$ -1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\varphi (u))/(iu)[lim_(\mathbb(R)->\infty)e^(-iu\mathbb(R))-e^(-iuk)]du $

Bene: da dove "esce" quel limite?

Poi… "proseguendo con la dimostrazione", spezzo questo integrale in due parti e (dopo aver portato fuori il limite e sostituito $\varphi (u)$ con la trasformata di Fourier) mi concentro solo sull'integrale che ha come esponenziale $e^(-iu\mathbb(R))$. Applicando di nuovo Fubini e successivamente l'identità di Eulero si arriva a scrivere:

$ \int_(-\infty)^(+\infty)f(x)[\int_(-\infty)^(+\infty)(cos[u(x-\mathbb(R))])/(iu)du+\int_(-\infty)^(+\infty)(sin[u(x-\mathbb(R))])/(u)du] $

Bene: se il secondo è un integrale di Dirichlet che è pari alla funzione segno per $\pi$, perchè il primo si annulla?