Problema calcolo volume infinitesimo

[simi2799]

Salve. In una dimostrazione di elettromagnetismo mi introducono il volume elementare $dV$ come l'elemento di volume compreso tra le superfici sferiche di raggio $r$ e $r+dr$. Ovvero $dV=4pir^2 dr$.
Allora mi sono chiesto come sono arrivati a questo risultato ma non ne vengo a capo.
Ho provato a fare la differenza tra il volume della sfera di raggio $r$ e quella di raggio $r-dr$ .
Ho fatto questo calcolo:
$\4/3pi r^3-4/3pi (r-dr)^3 = 4/3pi r^3 - 4/3pi (r^3 - dr - 3r^2 dr - 3r dr)$

E non è esattamente il $dV$ che mi suggerisce il libro. Cos'è che sbaglio?

[professorkappa]

L'elevazione al cubo

[RenzoDF]

E non è esattamente il $dV$ che mi suggerisce il libro.

Ovviamente, ma $\text{d}r$ è infinitamente piccolo e di conseguenza, oltre all'errore del cubo, che ti è gia stato segnalato, non consideri il fatto che

$\text{d}V=\4/3pi r^3-4/3pi (r-\text{d}r)^3 = - 4/3pi ( - 3r^2 \text{d}r +3r (\text{d}r)^2 -(\text{d}r)^3)\approx - 4/3pi ( - 3r^2 \text{d}r ) =4\pi r^2 \text{d}r$

[simi2799]

Avevo considerato $dr^2$ e $dr^3$ come altri $dr$, invece di approssimarli a 0. E' sbagliato? Comunque, volendo, non si potrebbe approssimare anche $dr$ a 0 visto che è infinitesimo?
Forse mi faccio troppi problemi e semplicemente il libro ha usato l'approssimazione più comoda ai fini della dimostrazione.

[RenzoDF]

Avevo considerato $dr^2$ e $dr^3$ come altri $dr$, invece di approssimarli a 0. E' sbagliato? Comunque, volendo, non si potrebbe approssimare anche $dr$ a 0 visto che è infinitesimo?

Devi considerare il termine di "peso" maggiore, se poi consideri dr=0 che differenza vai a fare?

[Nikikinki]

Anche se ti hanno già risposto più che esaurientemente, vorrei suggerirti di non dimenticare mai alcune definizioni di base, come può esserle quella di differenziale che è fondamentale, anche per dare risposte in modo semplice in casi in cui procedere così può essere complesso. Il volume della sfera è $V=4/3 \pi r^3$ e se vuoi il differenziale rispetto al raggio hai già tutto pronto nella definizione stessa di differenziale.

$dV= ((dV)/(dr)) * dr= (4/3 \pi 3 r^2) dr= 4 \pi r^2 dr$

[vict85]

Da quel che vedo scritto da RenzoDF, \(dV\) non è davvero una forma di volume ma la differenza infinitesima di volume tra due volumi sferici. Insomma, è una misura monodimensionale o, come dice RenzoDF, il differenziale della funzione \(V\) rispetto a \(r\).

[mgrau]

Più semplicemente ancora: il $dV$ è un volume con uno spessore infinitesimo $dr$ racchiuso fra due superfici pari alla superficie della sfera, $4pir^2$ (e trascurando i soliti infinitesimi di ordine superiore, dovuti al fatto che le due superfici non sono PROPRIO uguali)