Jaeger90 ha scritto:gugo82 ha scritto:Assolutamente puntuale (una locuzione che mi fa personalmente ribrezzo, preferisco dire "convergenza assoluta puntuale") significa che per ogni $x in I$ converge la serie $sum |f_n (x)|$.
Con "converge" sottointendi puntualmente, giusto?
Se dico "piove" sto sottointendendo "cadono gocce d'acqua dalle nuvole in cielo"?...
Non sto sottointendendo nulla, leggi bene.
Scrivere "per ogni $x in I$ converge la serie $\sum |f_n(x)|$" equivale a scrivere "la serie $\sum |f_n|$ converge puntualmente in $I$".
Jaeger90 ha scritto:gugo82 ha scritto:Se vuoi usare un teorema (quello di derivazione termine a termine) devi essere sicuro che le sue ipotesi siano soddisfatte. Quali sono le ipotesi?
Un attimo, da dove esce il teorema di derivazione termine a termine?
La serie viene riscritta direttamente come somma dello sviluppo in serie di Mclaurin (che so essere l'unico modo per effettuare la somma), ma non so dove trovare le varie ipotesi, come in questo caso che si abbia una precisa convergenza puntuale.
Ed a proposito di teorema di derivazione, come avevo chiesto in questo topic, non mi è chiaro come mai ci si possa ricondurre allo studio della serie derivata, e studiare essa.
Il teorema di derivazione per serie di potenze dice che la serie derivata ha stesso raggio di convergenza della serie di partenza.
Ma non trovo come questo significhi che allora entrambe le serie (di partenza e derivata), convergono puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente allo stesso intervallo e abbiano la stessa somma.
Il comportamento di qualsiasi serie di potenze è noto:
- un teorema ti dice che una s.d.p. converge puntualmente nell'interno di un intervallo simmetrico rispetto ad un punto e non converge all'esterno di esso; rimangono fuori (eventualmente) i due estremi di tale intervallo, in cui la convergenza va controllata caso per caso;
- un importante famiglia di teoremi ti dice che la semiampiezza dell'intervallo di convergenza di una s.d.p., il cosiddetto raggio di convergenza, è completamente determinato dalla successione dei coefficienti della serie e ti dice come calcolarlo;
- un semplice, ma notevolissimo teorema ti dice che una s.d.p. converge totalmente (e dunque anche uniformemente, assolutamente e puntualmente) su ogni sottointervallo compatto contenuto nell'interno del suo intervallo di convergenza;
- un teorema di Abel ti dice che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, allora la convergenza è uniforme (e quindi pure puntuale) anche in ogni sottointervallo compatto che ha un estremo coincidente con l'estremo dove c'è convergenza.
Visto che la serie derivata di una s.d.p. è anch'essa una s.d.p., anche la serie derivata di una s.d.p. ha un comportamento noto e descritto dai teoremi citati in precedenza. Inoltre, un importantissimo teorema ti dice che una s.d.p. e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
Ora, visto che (per fatti generali della teoria delle serie/successioni di funzioni) se una serie di funzioni e la sua serie derivata convergono uniformemente in uno stesso insieme, allora la somma della serie derivata è uguale alla derivata della somma della serie originaria, è evidente per quanto detto sopra che all'interno dell'intervallo di convergenza la serie delle derivate di una s.d.p. ha per somma la derivata della somma della s.d.p.
Queste considerazioni si applicano, il più delle volte, quando vuoi calcolare la somma di alcune ss.dd.pp. che non sono note.
Tanto per fare un esempio semplice, consideriamo $sum_(n=1)^oo 1/n x^n$ e vediamo cosa si può dire. Per i teoremi citati in precedenza, all'interno dell'intervallo di convergenza, cioè in $]-1,1[$, risulta:
\[
\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n \right)^\prime = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}\ x^n \right)^\prime = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} \stackrel{k=n-1}{=} \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}
\]
poiché l'ultima serie è geometrica di ragione $x$ e convergente per le limitazioni imposte ad $x$; quindi sai che la somma $f(x)$ della s.d.p. $sum_(n=1)^oo 1/n x^n$ ha:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{1 - x}\; ;
\]
d'altra parte, $f(0)= sum_(n=1)^oo 1/n 0^n = 0$, quindi la tua $f(x)$ soddisfa il problema:
\[
\begin{cases}
f^\prime (x) = \frac{1}{1 - x}\\
f(0) = 0
\end{cases}\; ;
\]
il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ti dice che esisiste un'unica funzione che soddisfa il problema precedente, cioè la funzione integrale di $1/(1 - x)$ che nel punto iniziale $0$ assume valore $0$, perciò hai certamente:
\[
f(x) = \int_0^x \frac{1}{1 - t}\ \text{d} t = - \log |1 - t |\Big|_0^x = - \log (1 - x)
\]
(in cui ho eliminato il v.a. all'ultimo membro perchè $-1 < x < 1 => 0 < 1 - x < 2$); ed infine hai dimostrato che:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ x^n = - \log (1 - x)\qquad \text{per ogni } -1 < x < 1\; .
\]
