Dimostrazione per induzione

[xevos17]

Salve a tutti! Mi trovo in difficoltà ad eseguire una dimostrazione per induzione.
$ (d^n )/(dx^n) (xe^(2x))=2^(n-1) (2x+n)e^(2x) $
Mi blocco in particolare al passo induttivo dove effettivamente mi viene il risultato corretto se non fosse che mi rimangono un 2x ed un n in più. Non riesco proprio a capire l'errore.
Grazie mille in anticipo!

[Luca.Lussardi]

Prova a postare qualche passaggio...

[pilloeffe]

Ciao xevos17,

Benvenuto sul forum!

In alternativa potresti provare a dimostrare per induzione direttamente la regola di derivazione di Leibnitz:

$d^n/(dx^n)[f(x)g(x)] = \sum_{k = 0}^n ((n),(k)) f^{(n - k)}(x) g^{(k)}(x) = $
$ = ((n),(0)) f^{(n)}(x) g^{(0)}(x) + ... + ((n),(n - 1)) f^{(1)}(x) g^{(n - 1)}(x) + ((n),(n)) f^{(0)}(x) g^{(n)}(x) $

ove si conviene che $f^{(0)}(x) = f(x) $ e $g^{(0)}(x) = g(x) $
Nel caso proposto poi $f(x) = x $ (per cui tutte le derivate di $f(x) $ sono nulle a parte la derivata prima che vale $1$) e $g(x) = e^{2x} $ (funzione della quale è abbastanza semplice calcolarsi le derivate di qualsiasi ordine).

[xevos17]

Grazie per la risposta! Purtroppo per me l'induzione è sempre stata una bestia nera

Comunque posto i passaggi che avevo effettuato io, così da capire se ho fatto qualche errore logico(molto probabile e mi scuso in anticipo se ho scritto castronerie ).

Prima di tutto provavo la base induttiva per n=1

$ d/dx (xe^(2x))=2^0(2x+1)e^(2x) $

E di per se facendo la derivata effettivamente il risultato è corretto.
Ora devo dimostrare che vale anche per il successivo n+1
$ (d^(n+1))/dx^(n+1) (xe^(2x))=2^n(2x+n+1)e^(2x) $

Quindi ho pensato che per ottenere n+1 dovessi usare la proprietà delle potenze
$ (d^(n))/dx^(n) (xe^(2x)) *d/dx(xe^(2x))=[2^(n-1)(2x+n)e^(2x)]*(2x+1)*e^2x=2^n(2x+1)e^(2x) $

facendo i calcoli arrivo a questo punto:
$ e^(2x)[2^(n-1)*(4x^2+2x+2nx+n)]=
e^(2x)[2^(n)*x(2x+1+n+n/2)] $
qua mi sono bloccato.

[pilloeffe]

Ora devo dimostrare che vale anche per il successivo $n+1$

... Posto che sia vero che vale per $n $, cioè per ipotesi induttiva si ha:

$ (d^n )/(dx^n) (xe^(2x)) = 2^(n-1) (2x+n)e^(2x) $

La tesi è che sia

$ (d^{n + 1})/(dx^{n + 1}) (xe^(2x)) = 2^n (2x+n + 1)e^(2x) $

Infatti si ha:

$ (d^{n + 1})/(dx^{n + 1}) (xe^(2x)) = d/(dx) (d^n )/(dx^n) (xe^(2x)) $ \( \displaystyle \overset{Hp)}{=} \) $ d/(dx) [2^(n-1) (2x+n)e^(2x)] = 2^(n-1) d/(dx) [ (2x+n)e^(2x)] = $
$ = 2^(n-1) [2 e^(2x) + 2e^(2x)(2x + n)] = 2^n (2x + n + 1) e^(2x) $

come volevasi dimostrare.

[xevos17]

Grazie Mille Finalmente ho capito questa dimostrazione! Grazie ancora per la tua disponibilità e celerità nel rispondermi.

[pilloeffe]

Grazie Mille

Prego!

Finalmente ho capito questa dimostrazione!

Beh, sono contento di esserti stato utile. Per vedere se hai veramente capito però, ti suggerirei di provare a dimostrare per induzione la formula generale di Leibnitz che ti ho scritto in un mio post precedente, di cui la tua è un caso particolare... Infatti, da essa con $f(x) = x $ e $g(x) = e^{2x} $ si ha:

$ d^n/(dx^n)[x e^{2x}] = ((n),(n - 1)) g^{(n - 1)}(x) + ((n),(n)) x g^{(n)}(x) = n \cdot 2^{n - 1} e^{2x} + 1 \cdot x \cdot 2^n e^{2x} = 2^{n - 1}(2x + n)e^{2x}$