disequazioni non elementari

[Smon97]

Studiare la disequazione nell'intevallo $]-oo, 1]$

$ln(1/(1+x^2)) >x$

L'ho svolt così, è giusta?

sia $f(x)= ln(1/(1+x^2)) -x$

$f'(x) = ln((-2x)/(1+x^2))-1 = (-x^2-2x-1)/(x^2+1)$

f(x) è decrescente in $]-oo, 1]$

$f(0)=0$

posso e devo fare altro?

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

posso e devo fare altro?

Sì, scrivere la soluzione della disequazione proposta: $ x < 0 $ ovvero $(-\infty, 0) $

[Smon97]

Perfetto grazie.

[anto_zoolander]

Ho una domanda; puoi anche non rispondere però mi sembra una domanda carina.

La funzione che hai definito ha derivata $leq0$ su tutto $RR$(si annulla per $x=-1$) e non $<0$ quindi non puoi tirare direttamente fuori quello che ti interessa; sapresti convincerci che quella funzione è effettivamente strettamente decrescente?

[gugo82]

@ Smon97: Fammi capire… Secondo te la derivata di un logaritmo contiene ancora un logaritmo?

[pilloeffe]

Ciao gugo82,

$ f'(x) = ln((-2x)/(1+x^2))-1 = (-x^2-2x-1)/(x^2+1) $

Ritengo che all'OP sia semplicemente "scappato" il $ln $ nel primo passaggio a causa di un copia-incolla poi non modificato del tutto: la derivata finale è corretta e si ottiene dal passaggio precedente senza considerare quel $ln$ che naturalmente non deve esserci...

[Smon97]

Si esatto.
Ho fatto copia incolla senza cancellare ln che ovviamente non c'è nella derivata

[Smon97]

Infatti dopo quando faccio il prodotto non lo riscrivo ln appunto perché è stato un errore di battuta.