Compattezza

[vict85]

Al di là della teoria, la curva definita dall'equazione \( x^3 + xy + y^3 = 0 \) è limitata?

[dissonance]

Adesso mi hai fatto venire il dubbio, vict. Sopra ho suggerito che tutte le curve \(x^3+xy+y^3=\lambda\), con \(\lambda\in [-1, 1]\), sono limitate. Ho detto una cavolata? Può essere, eh.

[jinsang]

Chiamiamo $f(x,y)=x^3+xy+y^3$

Vale
\(limsup_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=+\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->+oo$)
\(liminf_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=-\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->-oo$)
Quindi
$AA R>0$ trovo una curva $\gamma:[0,1]->RR^2$ che "sta tutta fuori" da $B(0,R)$ (palla centrata in 0 raggio R) tale che
$f(\gamma(0))<0$
$f(\gamma(1))>0$
Essendo continua $f(\gamma(t))$ si annulla lungo la curva, quindi per ogni palla ho uno zero al di fuori di essa, quindi il luogo di zeri di $f$ non è finito.
Questo criterio si generalizza (per vedere se il luogo di zeri è finito guardo sempre il segno di liminf e limsup)
Sto sbagliando?

Domanda Bonus:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Come si fa a fare il limsup in modo che il pedice venga effettivamente sotto?

[dissonance]

È giusto, jinsang. Non c'è bisogno di introdurre curve che "stanno tutte fuori", queste locuzioni informali sono un po' imprecise, io direi piuttosto che, per ogni R>0, si può applicare il teorema degli zeri in R^2 privato della palla di raggio R, ottenendo che esiste almeno un punto su cui il polinomio si annulla. Quindi, l'insieme degli zeri non è limitato, perché non è contenuto in nessuna palla.

Chiedo scusa per avere dato un suggerimento fuorviante nel mio post precedente.

[anti-spells]

Grazie a tutti, scusate se non rispondo ma adesso mi sto focalizzando su altri corsi e non ho proprio tempo per provare a fare questi esercizi