Relatività ristretta (primo esercizietto semplice)

[vastità]

Ciao ragazzi,

mi sono già incasinato su esercizio da scuole superiori di relatività. Mi accorgo di doverci proprio prendere la mano.

In sosranza mi si chiede dato un sistema S e la navicella N che gli si avvicina, quanto sia la velocità di avvicinamento, sapendo che: S emette un flash ogni secondo e N riceve 2 flash ogni secondo (chiamando S e N i due sistemi di riferimento).

La mia idea era sfruttare un effetto doppler relativistico con la nota formula: $T_N=sqrt((1+B)/(1-B))*T_S$ (B negativo dato che si avvicina), il punto è che questo mi permette di trovare il tempo della distanza tra i due flash, visto nella navicella dagli astronauti.

Ora la parte che mi incasina:

Il processo è stato dricondurmi alle unità di misura che mi servono: 1/tempo, quindi: $1/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*1/T_S$

da questo poi ho moltiplicato ambo i membri per $1_(\flash)$ cioè:

$(1_(\flash))/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/T_S$

Avndo il dato che TS=1 secondo, a secondo membro si ha: $sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/1_S$

D'altra parte ciò che sta a primo membro è la frazione che deve mantenersi costante se mettessi nell'unità di tempo 1 secondo: $(1_(\flash))/T_N=(x_(\flash))/(1 \secondo)$

Così avrei: $(x_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$

Tuttavia ho anche il dato $(x_(\flash))=2$ perché so che ne vede 2, quindi concludendo:

$(2_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$

e da B ricavo il v sapendo che $B=v/c$.

Parrebbe giusto, ma non mi convince molto, che ne pensate?
Many thanks

[Shackle]

Modifico la risposta precedente perchè ho scritto delle imprecisioni.

Il numero $beta = v/c$ è positivo, in quanto rapporto tra moduli di velocità.

L'effetto Doppler relativistico dice in sostanza questo :

Se una sorgente luminosa $S$ emette impulsi luminosi a intervalli temporali $T_S$ , questi impulsi vengono ricevuti da un ricevitore $N$, in moto rispetto alla sorgente, a intervalli temporali :

$T_N = sqrt ((1+beta)/(1-beta)) *T_S $

questa formula è valida se il ricevitore si allontana, infatti l'intervallo di ricezione, da parte di N, tra un impulso e il successivo è maggiore rispetto all'emissione a causa dell’ allontanamento , e risulta $T_N>T_S $ in quanto la radice è > 1.

Se il ricevitore si avvicina. gli impulsi sono ricevuti con maggior frequenza rispetto all’ emissione, e risulta :

$T_N = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *T_S $

e questo significa che l'intervallo di ricezione, da parte di N, è più piccolo rispetto a quello di emissione ; dalla formula si ha $T_N<T_S$ perche la radice è <1 .
In tutto ciò, ripeto, si ha sempre $beta > 0$.

A queste formule si arriva considerando l'effetto Doppler classico con la correzione del fattore $gamma =(1-beta^2)^(-1/2)$ applicata al tempo dell'orologio in moto , che rispetto al tempo della sorgente ferma scorre più lentamente, sia in allontanamento che in avvicinamento . Se occorre, parliamo anche di questo. In verità, si tratta l’effetto Doppler parlando di frequenze, ma la frequenza F è l’inverso del Periodo T , e il periodo è proporzionale alla lunghezza d’onda : $ lambda =cT$ ; nel Doppler di onde em non occorre precisare chi si muove rispetto all’aria come nel caso delle onde sonore.

Nel caso in esame , essendo N in avvicinamento ad S, si ha che :

S emette un flash ogni secondo e N riceve 2 flash ogni secondo

questo significa che $T_S = 1s$ (intervallo temporale tra due flash successivi emessi da S )

e : $T_N = 0.5s $ (intervallo temporale tra due flash successivi ricevuti da N )

Quindi si ha : $0.5s = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *1s$ ( la formula è quella per l'avvicinamento) .

Sviluppando, si ha : $ 0.25 = (1-beta)/(1+beta) \rarr =...= (0.25+1)beta = 1- 0.25 rarr beta = (0.75) /(1.25) = 0.6 $

La tua formula finale porterebbe a un $beta<0$ , infatti sarebbe :

$4 = (1-beta)/(1+beta) rarr 4 +4beta = 1 -beta rarr 5beta = -3 rarr beta = -3/5$

ma noi vogliamo che sia $beta>0$ , il segno + oppure - lo scriviamo nella quantità sotto radice al numeratore , mettendo il segno opposto al denominatore. È il segno che indica l'operazione di somma o di differenza, non è il segno di $beta$ .

[vastità]

Ciao, grazie mille per larisposta.

Il punto è che le mie dispense preferiscono tenere il segno tale e quale e far variare beta come valore positivoo negativo a seconda del fatto che si sia in avvicinamento o allontanamento.In fin dei conti cambia poco, perché il tutto si traduce nel cambio di segno, anziché intrinsecamente nella formula e tenendo il beta sempre positivo.

Passando alla risoluzione, da quanto ho capito mi suggerisci di tenere fisso non tanto l'intervallo temporale quanto l'evento (un flash) per entrambe le situazioni e da lì ricavare quanto è variato l'intervallo temporale.
Poi certo, da lì in posi è chiarissimo, sono passaggi algebrici. Era questo passaggio logico che non avevo considerato.

[Shackle]

Si, ho visto anch'io dei testi dove si preferisce lasciare il segno dell'operazione tal quale , e considerare $beta$ come numero relativo . Ma da un punto di vista fisico non mi sembra avere tanto senso . Ad ogni modo , segui pure le tue dispense , ci mancherebbe altro!

Per quanto concerne i flash , ovvero gli impulsi luminosi , come preferisco chiamarli io, tieni presente che il numero di impulsi al secondo $N_(imp)/s$ non è altro che una frequenza . Maggiore è la frequenza , minore è la distanza temporale tra un impulso e il successivo. Immagina che la sorgente emetta onde elettromagnetiche di una data frequenza : puoi considerare le creste di tali onde come impulsi distanziati del tempo $T$ , periodo dell'onda.

[vastità]

Molto gentile