Dimostrare che una forza è conservativa attraverso la sua integrabilità

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Ciao a tutti!

Vorrei capire come è possibile verificare che una forza sia conservativa. In particolare mi interessa farlo sfruttando il fatto che, se la forza ammette potenziale, allora essa è conservativa, e quindi l'essere conservativa della forza si riduce a dimostrare che essa è integrabile.
Quello che vorrei sapere è:

1) Come si dimostra che essa è integrabile? E sorpattuto, integrabile in che senso? (Visto che ci sono diversi tipi di "integrabilità")
2)E' vero anche il contrario? Cioè, è una C.N.S.? Ovvero se la forza non ammette potenziale (non è integrabile), allora essa non è conservativa?

[professorkappa]

Ciao a tutti!

Vorrei capire come è possibile verificare che una forza sia conservativa. In particolare mi interessa farlo sfruttando il fatto che, se la forza ammette potenziale, allora essa è conservativa, e quindi l'essere conservativa della forza si riduce a dimostrare che essa è integrabile.
Quello che vorrei sapere è:

1) Come si dimostra che essa è integrabile? E sorpattuto, integrabile in che senso? (Visto che ci sono diversi tipi di "integrabilità")
2)E' vero anche il contrario? Cioè, è una C.N.S.? Ovvero se la forza non ammette potenziale (non è integrabile), allora essa non è conservativa?

Non occorre integrare. La forza e' conservativa se $[partialF_i]/[partialx_j]=[partialF_j]/[partialx_i]$, ovvero $nablaxxF=0$
L'integrabilita' di Fdr su un percorso qualunque ti fornisce poi la funzione potenziale che esiste solo se la forza e' conservativa

[phpmode]

Grazie per la risposta! Tuttavia volevo evitare di utilizzare il rotore per dimostrarlo, proprio per questo volevo capire come funziona il collegamento tra integrabilità della forza e potenziale... (ed inoltre non mi è chiaro neanche come il rotore nullo possa dimostrarlo :'( )

[caulacau]

Eh no, dipende dal dominio di $F$. Ci sono molti campi irrotazionali, ma non conservativi (ossia forme differenziali chiuse, ma non esatte), definiti su domini che non sono semplicemente connessi.

[phpmode]

Eh no, dipende dal dominio di $F$. Ci sono molti campi irrotazionali, ma non conservativi (ossia forme differenziali chiuse, ma non esatte), definiti su domini che non sono semplicemente connessi.

Anche per questa ragione volevo sapere come si può dimostrare attraverso l'integrabilità, perché non saprei come dimostrare che il dominio è semplicemente connesso per poter utilizzare il rotore nullo come prova delle forza conservativa....

[caulacau]

Non saprei come dimostrare che il dominio è semplicemente connesso

Solitamente basta disegnarlo o ricondurlo a un dominio che (non) lo è, per dimostrare che (non) lo è. Ci sono alcune classi di funzioni che ammettono notoriamente un potenziale, e altre che si sa non lo ammettono (proprio perché la forma della funzione $f(x)$ e la topologia del dominio sono intimamente connesse e determinano l'integrabilità di $f(x)dx$). Non si può dire molto di più se non scrivi una funzione esplicita.

Poi, venendo alle tue domande:

1) Come si dimostra che essa è integrabile? E sorpattuto, integrabile in che senso? (Visto che ci sono diversi tipi di "integrabilità")

Si dimostra che una data $F : D \to \mathbb R^n$ è della forma $\nabla U$ per qualche $U : D \to \mathbb R$... trovando $U$: non c'è una procedura generale per determinarla, a parte dei ragionamenti di coomologia (di de Rham).

2)E' vero anche il contrario? Cioè, è una C.N.S.? Ovvero se la forza non ammette potenziale (non è integrabile), allora essa non è conservativa?

"Conservativo" significa "ammette un potenziale"; tu ne hai preso la contronominale, quindi sì, "non ammette un potenziale" significa "non è conservativo".

[gugo82]

"Conservativo" significa "ammette un potenziale"

In realtà, "conservativo" non significa "avente potenziale"... Infatti un campo vettoriale si dice conservativo se esso ha circuitazione nulla lungo ogni curva chiusa contenuta nel suo aperto di definizione.

"Avente potenziale", invece, significa che il campo è un gradiente.

Le due cose sono sì collegate, ma non sono in generale sinonimi.

[caulacau]

"Conservativo" significa "ammette un potenziale"

In realtà, "conservativo" non significa "avente potenziale"... Infatti un campo vettoriale si dice conservativo se esso ha circuitazione nulla lungo ogni curva chiusa contenuta nel suo aperto di definizione.

No, le due cose sono sinonimi:
"In vector calculus, a conservative vector field is a vector field that is the gradient of some function.[¹]

[...]

More abstractly, in the presence of a Riemannian metric, vector fields correspond to differential 1-forms. The conservative vector fields correspond to the exact 1-forms, that is, to the forms which are the exterior derivative \(d\phi\) of a function (scalar field) \(\phi\) on \(U\)."

Più sotto, c'è il paragrafo "Path independence": per la forma angolo, è evidente che \(\int_{\mathbb S^1} d\theta \neq 0\), perché questa è esattamente la misura 1-dimensionale di \(\mathbb S^1\).



[¹]: Marsden, Jerrold; Tromba, Anthony (2003). Vector calculus (Fifth ed.). W.H.Freedman and Company. pp. 550–561.