Criterio del confronto per le serie numeriche (teoria)

[gugo82]

La successione di termine generale $(log n)/n^3$ non è asintoticamente equivalente a $1/n^3$, perché $lim ((log n)/n^3)/(1/n^3) = lim log n = +oo$; da ciò segue che $(logn)/n^3$ è un infinitesimo d'ordine inferiore ad $1/n^3$, quindi non ha senso confrontare la tua serie con quella armonica generalizzata di esponente $3$.

Tuttavia il calcolo esplicito:
\[
\lim \frac{\frac{\log n}{n^3}}{\frac{1}{n^\alpha}} = \lim n^{\alpha -3}\ \log n = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0< \alpha <3\\ +\infty &\text{, se } \alpha \geq 3\end{cases}
\]
to dice che $(logn)/n^3$ è infinitesimo d'ordine superiore rispetto ogni $1/n^\alpha$ con $alpha <3$; puoi allora scegliere un qualsiasi esponente $1<alpha<3$ (e.g., $alpha =2$), confrontare la tua serie con $sum 1/n^alpha$ (e.g., con $sum 1/n^2$) e concludere che...

[pcnf16]

Ciao gugo82, grazie per la dettagliata risposta. Avrei però un ulteriore domanda: sarebbe corrette, in alternativa, valutare la convergenza di $ (log n)/n^3 $ utilizzando il criterio degli infinitesimi?

[gugo82]

Perché, scusa, quello che ho fatto sopra cosa ti sembra?