Domande su funzioni composte

[frascari]

Ciao, sto iniziando a studiare le derivate composte in due variabili e trovo alcuni ostacoli, vorrei porvi due domande, la seconda davvero stupida che però non mi ero mai posto prima.

inizio con la prima
1) Se avessi una funzione composta $f\o\g$ del tipo $R^2->R->R$:

$g(x,y)=x^2+y$

$f(x^2+y)=x^2$

potrebbe esistere? Perché non ne ho mai trovate di questo tipo e suppongo che la composizione debba comprendere anche la y.

grazie

[gugo82]

Non è chiara la domanda.

[frascari]

Ciao gugo82, scusami se mi sono spiegato male,vorrei poterci riprovare sperando di non tediarti col dubbio.

Partiamo dall'esempio:

Se avessi una funzione composta $f\o\g$ del tipo $R^2->R->R$:

$g(x,y)=x^2+y$

$f(x^2+y)=x^2$

potrebbe esistere? Perché non ne ho mai trovate di questo tipo e suppongo che la composizione debba comprendere anche la y.

In sostanza io forrei fare: f(z) ove z=g(x,y)

E mi chiedevo se postesse esistere


$g(x,y)=x^2+y$

$f(x^2+y)=x^2$

una composizione del genere.

Grazie ancora

[gugo82]

Scrivi comunque male.

Vorresti comporre la $g: RR^2 -> R$ che assegna $g(x,y) = x^2 + y$ con una $f:RR -> R$ (avente legge di assegnazione $f(z)=?$) in modo che $f(g(x,y)) = x^2$?
Vorresti sapere se una tale $f$ esiste?
O vuoi anche esprimerla elementarmente?

[frascari]

Scusami, cercherò davverodi migliorarmi. Comunque sei riuscito a capire nonostante il mio disordine, è proprio quello!

Chiedo troppo se avessi voglia di spiegarmi tutti tre punti? Nel senso: sono molto dubbioso sull'esistenza di questa f, emolto confuso su queste composizioni che sbaglio facilmente.

Grazie di nuovo

[gugo82]

Vediamo se indovino...

Il dubbio si origina così: sembra che per avere $f(x^2 + y) = x^2$ si debba prendere $f(z)=z - y$... Ma ciò non è possibile, perché $f$ deve dipendere solo da $z$ e non da $y$.

Questo modo di ragionare, sebbene non conclusivo, ti dà una traccia di come fare a provare che una tale $f$ non esista: basta fissare un valore di $z$ che è immagine tramite $g$ di due punti $(x_1,y_1)$ ed $(x_2,y_2)$ (sicché $g(x_1,y_1)=z=g(x_2,y_2)$) con $x_1!=pm x_2$ e sfruttare questi fatti per mostrare che $f(z)$ non è ben definito.
Ad esempio, scegliamo $z=0$. Evidentemente tale $z$ è immagine di tutti e soli i punti $(x,y) in RR^2$ tali che $g(x,y)=0$, cioè dei punti della parabola di equazione $y=-x^2$; perciò il valore $z=0$ è immagine tramite $g$ dei due punti $(0,0)$ ed $(1,-1)$ che soddisfano la condizione $x_1!=pm x_2$.

Ora, se per assurdo esistesse una funzione $f$ tale che $f(g(x,y))=x^2$, scegliendo i punti $(0,0)$ e $(1,-1)$ troveremmo $0=0^2=f(g(0,0))=f(0)=f(g(1,-1))=1^2=1$; ma ciò è assurdo anche nei peggiori bar di Caracas.
Dunque $f$ non esiste.

[frascari]

Grazie, cavolo non ci sarei mai arrivato a una dimostrazione tanto chiara.

Davvero gentilissimo

PS: esatto il dubbio era nato proprio così, tra l'altro