Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 24/06/2019, 17:31

caulacau ha scritto:Poni \(u_n = \frac{1}{n}\), \(w_n = \chi_{2\mathbb N }\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri pari, e \(v_n = \chi_{2\mathbb N +1}\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri dispari; ora, se \(a_n := u_n w_n\) e \(b_n = u_n v_n\)... questo dimostra che \(\sum a_n \land b_n\) può convergere.

Per quanto riguarda \(\sum a_n \lor b_n\) mi pare che basti usare la maggiorazione \(\sum a_n \lor b_n \ge \sum a_n\) e il fatto che \(\sum a_n\) diverge.


per quanto riguarda $(\sum Mn)$ che diverge ci sono.
perchè per il criterio del confronto se ho:
$ (\sum m_n) <= (\sum a_n)<= (\sum M_n)$

$(\sum a_n) $diverge $=> (\sum M_n)$ diverge poichè ogni maggiorante, a termini positivi, di una serie divergente è divergente.
analogamente con $b_n$
Invece per $(\sum m_n)$ lei mi consiglia di considerare queste due serie?

$(\sum a_n)=(\sum 2n)$
$(\sum b_n)=(\sum 2n+1)$
Ovviamente entrambe le serie divergenti, ma da qui come arrivo che il minimo potrebbe convergere?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda caulacau » 24/06/2019, 17:40

Nelle mie notazioni, \(\sum a_n \land b_n\) è la serie costantemente nulla. Quindi converge. Ma né \(\sum \frac{1}{2n}\) né \(\sum \frac{1}{2n+1}\) convergono, per confronto con la serie armonica.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 24/06/2019, 17:42

ma io devo considerare come serie la serie minimo di $a_n$ e $b_n$, quella che consideri tu coincide con il minimo?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda caulacau » 24/06/2019, 18:04

Qual è il minimo tra \(1/2n\) e $0$? E qual è il minimo tra \(1/(2n+1)\) e $0$?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 24/06/2019, 18:12

scusi ma se
$a_n=1/(2n)$
$b_n=1/(2n+1)$

prendo il min fra ${1/(2n),1/(2n+1)} $
quindi perchè considera 0?
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda caulacau » 24/06/2019, 19:33

Non è quello che ho scritto, e non darmi del lei :)
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 24/06/2019, 20:04

va bene ahah
tu fai il min fra
${1/(2n), 0}= 0$
${1/(2n+1), 0}= 0$

Ma perchè proprio lo 0?

forse non ho capito bene cosa fai..
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda caulacau » 24/06/2019, 20:51

Perchè proprio lo 0?
per far convergere la serie dei minimi.
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Re: Serie, esercizio teorico

Messaggioda Smon97 » 24/06/2019, 21:22

si ma in questo modo è come se consideri 3 serie

$a_n=1/(2n)$
$b_n =1/(2n+1)$
$c_n=0$

e fra il min tra ${a_n, c_n}$ e $b_n, c_n$
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