Integrale improprio

[Jaeger90]

Salve, ancora problemi con le convergenze e calcoli di integrali impropri.
Ho da calcolare convergenza e suo valore dell'integrale

$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $

Ho verificato che la funzione è continua nell'intervallo di integrazione, quindi essa è anche localmente integrabile. Inoltre essa è positiva nel suo intervallo di integrazione (anche se non ho capito cosa dovrei fare se non fosse così per qualche numero nell'intervallo ).

Il testo dice "La funzione integranda è continua in $[0,+oo)$ ed è infinitesima all’infinito come a $1/x^2$, quindi l’integrale di partenza converge", ma non ho sinceramente idea di cosa faccia, come già avevo cercato di capire in altri topic senza molto successo.
Quindi decido di fare a modo mio prendendo la funzione che usa come confronto come spunto..

Decido di verificare la convergenza utilizzando il criterio del confronto e riconducendomi a una funzione
$g(x)=1/x^2>=f(x)>=0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$

Quindi vedo se l'integrale di $g(x)$ converge.
Esso presenta una doppia improprietà e quindi lo divido.

$\int_{0}^{+oo} (1/x^2) dx = \int_{0}^{10} (1/x^2) dx + \int_{10}^{+oo} (1/x^2) dx$

E a questo punto studio i due integrali separatamente. Se non erro (ricordatemi in base a quale teorema per favore), la serie di partenza converge se convergono entrambe quelle sommate, e diverge se almeno una diverge.

Per il primo ho:
$\int_{0}^{10} (1/x^2) dx = lim_(E->0^+) \int_{0+E}^{10} (x^-2) dx = -1/10 - lim_(E->0^+)(-1/E) = +oo$

Tuttavia dovrei avere che l'integrale di partenza converge, mentre qui la prima parte del secondo già diverge.

[onlynose]

Hai fatto bene, a te interessa il comportamento dell'integrale all'infinito, non per $x=0$, quindi la maggiorazione con $g(x)$ puoi farla solo in $(10,+\infty)$, sapendo che l'integrale di $f(x)$ è ben definito in $(0,10)$.

[Jaeger90]

Hai fatto bene, a te interessa il comportamento dell'integrale all'infinito, non per $x=0$, quindi la maggiorazione con $g(x)$ puoi farla solo in $(10,+\infty)$, sapendo che l'integrale di $f(x)$ è ben definito in $(0,10)$.

Come è possibile? Dato che l'integrale in $[0,10]$ di $g(x)$ diverge, allora se almeno una delle due parti diverge l'integrale di partenza di $g(x)$ dovrebbe anch'esso divergere. Dopotutto la prima parte diverge anche usando il limite da destra a 0.
Se ad esempio dovessi calcolare l'area dell'integrale di $g(x)$, se considerassi solo la parte destra allora potrebbe essere finita, ma così sottrarrei l'area a sinistra che è invece infinita e il risultato non solo sarebbe diverso ma sarebbe un numero finito al posto che infinito.

[onlynose]

\[ \int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx \]\[ \int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx \]Posto $f(x)=(\frac{x}{1+x^3})$ abbiamo che
$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx$$
Adesso $f(x)$ è continua in $[0,10]$ (e dunque limitata, essendo compatto) dunque integrabile in tale intervallo.
Mentre in $(10,\infty)$ puoi fare la maggiorazione che hai fatto tu con $g(x)=x^{-2}$.
Ne viene che

$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx$$

[Jaeger90]

Non trovo il senso nel fare così però. Il motivo per cui ho sostituito $g(x)$ a $f(x)$ è per evitare di calcolare la convergenza integrando $f(x)$ integrando una funzione più semplice. Se devo comunque integrare $f(x)$ per il primo intervallo allora ciò perde di ogni significato.

Inoltre non capisco da dove esce quella disuguaglianza.

Per ultimo, resta comunque il fatto che nessuno mi vieta di sostituire $g(x)$ in tutto l'intervallo e in quel caso si avrebbe che l'integrale di $g(x)$ divergerebbe...

Non solo. Infatti basta usare la tabella degli integrali impropri notevoli per vedere che l'integrale di $g(x)$ diverge...

Tuttavia assodato che l'integrale di $g(x)$ diverge non posso dire nulla sul carattere dell'integrale di $f(x)$....

[onlynose]

La formula che ti ho dato segue dalla monotonia dell'integrale:
$f(x)\le g(x)$ implica $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)$. Dunque sapendo che $\int_0^{10}f(x)dx$ è un numero reale finito e che $\int_{10}^{infty}g(x)dx$ converge, puoi dire che $\int_0^\infty f(x)dx$ converge maggiorato da un valore reale.

Per calcolare il valore esatto dell'integrale ti devi armare di pazienza e scomporti la frazione e ridurti a degli integrali notevoli.

[onlynose]

Il punto dove sbagli è che il tuo integrale non è improprio in $0$, mentre l'integrale di $g(x)$ lo è e diverge.

[Jaeger90]

La formula che ti ho dato segue dalla monotonia dell'integrale:
$f(x)\le g(x)$ implica $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)$. Dunque sapendo che $\int_0^{10}f(x)dx$ è un numero reale finito e che $\int_{10}^{infty}g(x)dx$ converge, puoi dire che $\int_0^\infty f(x)dx$ converge maggiorato da un valore reale.

Qualche domanda a riguardo.

L'implicazione iniziale, io so che è valida negli integrali propri solo se entrambe le funzioni integrande sono integrabili in tale intervallo chiuso. In questo caso tuttavia abbiamo degli integrali impropri, e non so come si deve interpretare l'integrabilità nei vari casi.
Ad esempio, rispetto al teorema usato per il confronto degli integrali, g(x) è integrabile in $[0,n]$, tenendo conto che in 0 vi è divergenza? In base a cosa quel criterio lo si applica in modo analogo agli integrali impropri per vedere se le condizioni di applicazioni son soddisfatte?
mentre all'altro opposto vi è un $+oo$, tuttavia l'intervallo è aperto per definizione verso $+oo$, e ciò non soddisfa a priori la condizione, anche se ci si può ricondurre a un qualsiasi numero minore di $+oo$.

Altra domanda semplice, un integrale proprio, come lo è la parte sinistra dell'integrale di $f(x)$, è sempre convergente? A livello astratto vedo che non dovrebbe poter divergere, ma potrebbe essere irregolare?

Per sicurezza poi chiedo: hai detto che "il punto dove sbaglio è che $f(x)$ non è impropria in 0 mentre l'integrale di $g(x)$ diverge": questo non significa che i miei passaggi siano errati nel voler studiare la $g(x)$ in tutto l'intervallo, 0 incluso, ma semplicemente che ciò non porterebbe a nulla in quanto essendo esso divergente non posso affermare nulla riguardo all'integrale $f(x)$, giusto?
Grazie.

[Jaeger90]

Il punto dove sbagli è che il tuo integrale non è improprio in $0$, mentre l'integrale di $g(x)$ lo è e diverge.

Una controprova che nel frattempo ho provato senza un risultato chiaro è lo svolgimento di questa funzione tramite confronto asintotico.
Prendo sempre $g(x)=1/x^2$
In un intervallo $[0;+oo)$ ho che $g(x)$ all'infinito va a $0$ da destra, quindi in questo caso il risultato è infinitesimamente maggiore di 0 per x che tende all'infinito, quindi positivo, ma non nullo.
Ho che $lim_(x->+oo) f(x)/g(x)=1 $
e poi essendo che l'integrale di $g(x)$ diverge, allora anche quello di $f(x)$ divergerà, che non è una soluzione corretta.
Riusciresti a chiarirmi ciò? Grazie!

[Jaeger90]

Up.
Vorrei chiarire questo criterio del confronto asintotico, dato che la definizione che ho trovata online sull'applicazione non sembra dia risultati corretti.