Sia $q(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-2xy-2yz$ una forma quadratica definita su $\mathbb{R}^{3}$ con il prodotto scalare standard
1) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma diagonale (non canonica)
2) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma canonica
3) Si determini la segnatura e il rango di $q$
Per rispondere al primo quesito ho scritto la matrice di Gram associata a $q$ nel riferimento naturale, che risulta
\[
A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0 \\
-1 & 0& -1\\
0&-1 &1
\end{pmatrix}
\]
e ho ricavato gli autovalori $1,2,-1$ relativi agli autovettori $(1,0,-1)$, $(1,-1,1)$ e $(1,2,1)$. Se chiamo $\mathcal{R}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ il riferimento ordinato normalizzato di autovettori, $A$ assume la forma
\[
D=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 2 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Se chiamo ancora $x,y,z$ le componenti di un generico vettore di $\mathbb{R}^{3}$ in questo riferimento $\mathcal{R}$ ottengo
\[
q'(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-z^{2}
\]
Ora, per il secondo punto, suppongo si intenda di trovare un riferimento ortonormale per cui $q$ assume una forma del tipo $q''(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$. Per ottenerla, posso considerare il rifierimento $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ che è ortogonale MA non ortonormale ... e normalizzato coincide con $\mathcal{R}$
Dov'è l'inghippo?
Ps : E' giusto indicare le altre forme con $q'$ e $q'''$ se con $x,y,z$ intendo le coordinate nel primo riferimento, quello naturale? Mentre, se uso la stessa lettera dovrei usare lettere diverse per indicare le componenti nei riferimenti successivi, giusto?
Grazie in anticipo