Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 23/06/2019, 15:00

Salve, avrei un dubbio sul secondo punto del seguente esercizio
Sia $q(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-2xy-2yz$ una forma quadratica definita su $\mathbb{R}^{3}$ con il prodotto scalare standard
1) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma diagonale (non canonica)
2) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma canonica
3) Si determini la segnatura e il rango di $q$

Per rispondere al primo quesito ho scritto la matrice di Gram associata a $q$ nel riferimento naturale, che risulta
\[
A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0 \\
-1 & 0& -1\\
0&-1 &1
\end{pmatrix}
\]
e ho ricavato gli autovalori $1,2,-1$ relativi agli autovettori $(1,0,-1)$, $(1,-1,1)$ e $(1,2,1)$. Se chiamo $\mathcal{R}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ il riferimento ordinato normalizzato di autovettori, $A$ assume la forma
\[
D=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 2 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Se chiamo ancora $x,y,z$ le componenti di un generico vettore di $\mathbb{R}^{3}$ in questo riferimento $\mathcal{R}$ ottengo
\[
q'(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-z^{2}
\]
Ora, per il secondo punto, suppongo si intenda di trovare un riferimento ortonormale per cui $q$ assume una forma del tipo $q''(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$. Per ottenerla, posso considerare il rifierimento $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ che è ortogonale MA non ortonormale ... e normalizzato coincide con $\mathcal{R}$

Dov'è l'inghippo?

Ps : E' giusto indicare le altre forme con $q'$ e $q'''$ se con $x,y,z$ intendo le coordinate nel primo riferimento, quello naturale? Mentre, se uso la stessa lettera dovrei usare lettere diverse per indicare le componenti nei riferimenti successivi, giusto?

Grazie in anticipo
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Bokonon » 23/06/2019, 22:30

Prova con $\mathcal{B}=(e_{1},2e_{2},e_{3})$ e poi normalizzali
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 23/06/2019, 23:20

Ciao Bokonon. Così facendo $A$ dovrebbe assumere la forma
\[
D'=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 4 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Però questa forma non è canonica, non presentando gli 1 e -1 . Inoltre, normalizzando $(e_{1},2e_{2},e_{3}$ non riottengo $(e_{1},e_{2},e_{3})$, che è il riferimento iniziale?

In effetti è quello che non mi trovo : il mio $\mathcal{B}$ ridà la forma che voglio ma non è ortonormale; e ogni normalizzazione mi porta a cambiare matrice e quindi forma della forma ... non so se mi son spiegato e/o dove sbaglio
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Bokonon » 24/06/2019, 15:59

Cantor99 ha scritto:In effetti è quello che non mi trovo : il mio $\mathcal{B}$ ridà la forma che voglio ma non è ortonormale; e ogni normalizzazione mi porta a cambiare matrice e quindi forma della forma ... non so se mi son spiegato e/o dove sbaglio

Ciao Cantor99
Ti ho risposto di getto senza riflettere.
A pensarci bene, abbiamo $A=QDQ^(-1)$ dove Q è la matrice ortonormale degli autovettori.
Se cercassimo una matrice X tale che:
$A=QXLambdaX^(-1)Q^(-1)=(QX)Lambda(QX)^(-1)$ dove $ Lambda=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ e $D=XLambdaX^(-1)$
...non la troveremmo perchè, banalmente, $Lambda$ e $D$ non sono simili.

Chissà cosa chiede o se stiamo esagerando la richiesta. Potrebbe benissimo chiedere di trovare davvero la base ortonormale della forma canonica $q=x^2+y^2-z^2$ (dopo averla identificata al punto 1). Che dici?
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 24/06/2019, 21:09

Grazie per la risposta
Bokonon ha scritto:Chissà cosa chiede o se stiamo esagerando la richiesta.

Cercherò di andare a ricevimento...anche se ciò non accadrà nel breve (abito lontano dall'uni)
Bokonon ha scritto:Potrebbe benissimo chiedere di trovare davvero la base ortonormale della forma canonica $q=x^2+y^2-z^2$ (dopo averla identificata al punto 1). Che dici?

Ma quella base non è ortonormale, giusto? O non ho capito cosa intendi?
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Bokonon » 24/06/2019, 22:36

Cantor99 ha scritto:Ma quella base non è ortonormale, giusto? O non ho capito cosa intendi?

Intendo che chieda proprio di trovare una base ortonormale per la forma canonica...una volta che è stata riconosciuta.
Quindi una richiesta banale banale.
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 24/06/2019, 22:48

Così diverrebbe banale, sì!
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 01/07/2019, 12:42

Mi sono consultato con un mio compagno e forse abbiamo trovato una soluzione

La base che è trovato non devo normalizzarla rispetto il prodotto scalare standard, cioè il modulo di un vettore $v$ nel nuovo riferimento è
\[
|v|=\sqrt{q(x)} \qquad x=c_{\mathcal{N}}(v)
\]
dove $\mathcal{N}$ è il riferimento canonico. Quindi
\[
|e_{1}|=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{q(1,0,-1)}=1
\]
\[
|e_{2}|=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{q(1,-1,1)}=\sqrt{2}
\]
\[
|e_{3}|=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{q(1,2,1)}=1
\]
Pertanto la mia $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ è ortonormale in questo senso
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Bokonon » 01/07/2019, 15:29

Non sono certo di aver capito bene cosa hai fatto ma un cambiamento di base deve essere reversibile.
Non possiamo asserire che $A$ è associata a $Lambda$ senza che sia possibile invertire il cambiamento di base e tornare ad A.

Credo che tu abbia fatto una cosa del tipo...data:
$A=QDQ^(-1)=QDQ^T$ (normalizzo perchè non cambia nulla)
Possiamo trovare una matrice $ T=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )=T^T $ tale che $D=TLambdaT^T$

Sostituendo avremmo $A=QDQ^T=QTLambdaT^TQ^T=(QT)Lambda(QT)^T$
$QT$ (rotazione per rotazione) è ancora una matrice composta da vettori ortogonali e rappresenta una base che può essere normalizzata ma $(QT)^T != (QT)^(-1)$. Quindi non è più un cambio di base e non c'è relazione con A (o meglio si può trovare la trasformazione $A -> Lambda$ ma niente di più).

Fa un favore, controlla che effettivamente $QT$ sia la base che indichi.
BTW, ma il prof. non ha una email?
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Re: Dubbio forma canonica forme quadratiche

Messaggioda Cantor99 » 01/07/2019, 16:18

In realtà non ho fatto nessun conto materiale, ho usato i risultati che abbiamo provato nel corso, che trovi qui
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157432
nelle pagine 7,8,9.

La base che chiede son sicuro essere quella e quella che abbiamo trovato è una giustificazione per l'appellativo "ortonormale". In effetti, poi $D$ e la matrice associata alla forma canonica non dovrebbero essere simili/congruenti

In realtà, non credo mi risponda per email, cioè chiederà di fissare un appuntamento, cosa che non posso permettermi ... però provo lo stesso
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