limite successione con parametro

Messaggioda Rebb10 » 24/06/2019, 23:34

ciao, l'esercizio è:
AL variare del parametro reale $\alpha$ calcolare se esiste il limite della seguente successione
$a_n:= n^\alpha{((2n+1)/(n-1/2))^(1/n) -2^(1/n)}$.
Ora come devo procedere?
Usando gli sviluppi notevoli al numeratore e denominatore e trasformando in esponenziale il secondo termine (quindi $e^((1/n)log2)$) arrivo alla forma $n^\alpha{1-1/nlog2}$.
Ho provato a trasformare in esponenziale anche il primo termine ma così facendo si annulla la parentesi graffa e quindi mi verrebbe che il limite è finito per $\alpha<0$.
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Re: limite successione con parametro

Messaggioda Mephlip » 24/06/2019, 23:53

Puoi scrivere i passaggi per favore? A me risulta che il limite sia un numero reale per $\alpha \leq 2$.
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Re: limite successione con parametro

Messaggioda Rebb10 » 25/06/2019, 16:02

Se trasformo in espoennziale il primo termine e poi sviluppo al primo ordine $e^((1/n)log2)$ , quindi $1+(log2/n)$ si annulla con lo sviluppo del secondo termine, cioè mi vengono due termini uguali che annullo.
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Re: limite successione con parametro

Messaggioda Mephlip » 25/06/2019, 16:31

Prova a scriverlo così
$$\left(\frac{2n+1}{n-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{1}{n}}\left(\frac{n+\frac{1}{2}}{n-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{1}{n}}\left[\left(\frac{n-\frac{1}{2}+1}{n-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]=2^{\frac{1}{n}}\left[\left(1+\frac{1}{n-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]$$
$$=2^{\frac{1}{n}}\left[e^{\frac{1}{n}\ln\left(1+\frac{1}{n-\frac{1}{2}}\right)}-1\right]$$
E prova a sviluppare prima il logaritmo e poi l'esponenziale.
Continuo a non capire come ti si possa cancellare il primo esponenziale, visto che non coincidono (se non al limite) ma al limite ti si genera una forma indeterminata; purtroppo se non scrivi esplicitamente tutti i passaggi che hai fatto in formule è difficile capire cosa stai comunicando.
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