Successioni di funzioni, es teorico

Messaggioda Smon97 » 25/06/2019, 09:36

Sia ${f_n}_n$ una successione di funzioni reali definite in un intervallo $(a,b)$. Supponiamo che la successione ${f_n}_n$ converga puntualmente in $(a,b)$ ad una funzione limitata $f$ e che, $AA n\inNN, EE x_n\in (a,b) $ tale che la successione numerica ${f_n(x_n)}_n$ diverga.
provare che ${f_n}_n$ non converge uniformemente.

Ho provato a farlo così, ma credo che ci sia qualche errore:
Per convergere puntualmente vuol dire che
$\lim_{n \to \infty } f_n(x)=f(x)=f AAx\in(a,b) $
Per convergere puntualmente si ha:
$\lim_{n \to \infty }$ Sup $|f_n(x)-f(x)|=0 $

Ma poiché per convergere uniformemente la successione numerica ${f_n(x_n)}_n$ deve convergere, ma per ipotesi la mia successione numerica diverge si ha che la successione di funzione ${f_n}_n$ non può convergere uniformemente.

E' giusto questo procedimento?
Smon97
New Member
New Member
 
Messaggio: 86 di 95
Iscritto il: 25/07/2017, 18:21

Re: Successioni di funzioni, es teorico

Messaggioda anto_zoolander » 25/06/2019, 15:46

Smon97 ha scritto:Per convergere puntualmente si ha:
$lim_(n->+infty)$ Sup $|f_n(x)−f(x)|=0$

forse volevi scrivere per convergere uniformemente(?)
Sostanzialmente non dimostri; considerando che nemmeno sfrutti le ipotesi.

E' molto semplice, basta sfruttare le seguenti disuguaglianze

$abs(f_n(x_n))leqabs(f_n(x_n)-f(x_n))+abs(f(x_n))leqabs(f_n(x_n)-f(x_n))+Mleqnorm(f_n-f)_(infty)+M$

quindi se $f_n(x_n)->+infty$ allora $norm(f_n-f)_(infty)->+infty$


un esempio può essere la successione $f_n(x)=1+1/(nx)$ in $(0,1)$
la successione di funzioni converge puntualmente alla funzione limitata $f(x)=1$ su $(0,1)$

se si considera la successione ${x_n=1/n^2}_(n in NN)$ si nota subito che $f(x_n)=1+n->+infty$

infatti non converge uniformemente.
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 4069 di 4242
Iscritto il: 06/10/2014, 16:07
Località: Palermo

Re: Successioni di funzioni, es teorico

Messaggioda Smon97 » 26/06/2019, 17:35

sisi intendevo uniformemente e non puntualmente.
Grazie.
Smon97
New Member
New Member
 
Messaggio: 87 di 95
Iscritto il: 25/07/2017, 18:21


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 19 ospiti