Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 07/06/2019, 08:57

Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Che poi corrispondono agli automorfismi delle radici che lasciano fisso il campo dei coefficienti $Q$;
Scusa, ma non mi sembra cosi incomprensibile come domanda.
Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 08/06/2019, 03:34

francicko ha scritto:Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Esatto, ma per esempio mi sai dire quanti elementi ha il gruppo di Galois di $X^5-2$?

Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Scusa non capisco, facciamo così: fammi lo stesso esempio ma con i polinomi di grado $3$. Se hai $X^3+aX^2+bX+c$ come fai, col tuo metodo, a determinare il gruppo di Galois? Così capisco cosa intendi con la domanda "Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo?" che davvero non riesco a interpretare.

Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Sì se aggiungi $sqrt(Delta)$ al "campo base" allora nel campo base ti trovi tutte le radici quindi il gruppo di Galois è ${1}$.

Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Ma c'è una differenza fondamentale. Se tu scegli specifici $a,b,c$ razionali allora il gruppo di Galois di $aX^2+bX+c$ non è necessariamente $S_2$, dipende dal valore che hai dato a $a,b,c$. Invece se $a,b,c$ sono variabili algebricamente indipendenti e il campo base è $K=QQ(a,b,c)$ allora il gruppo di Galois è $S_2$. Lo stesso vale per polinomi di grado $n$ qualsiasi (con $S_n$ invece di $S_2$).

Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
Invece questa frase è del tutto incomprensibile. Cosa vuol dire "se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico"? E' chiaro che nel momento in cui consideri un polinomio specifico, nel tuo caso $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$, i suoi coefficienti sono univocamente determinati, sono numeri razionali (addirittura interi) calcolabili esplicitamente, e ovviamente se hai dei numeri razionali sono automaticamente algebricamente dipendenti.

Non so se ci intendiamo con "algebricamente indipendenti". Se prendo una lista di numeri razionali $a,b,c,d,e$ allora sono per forza algebricamente dipendenti, sei d'accordo? Per esempio $a=5$ e $b=2/3$ sono algebricamente dipendenti perché $5+2/3=17/3$ quindi $a+b-17/3=0$ e questa è una relazione polinomiale (con coefficienti razionali) che lega $a$ e $b$.

Quando dico "variabili algebricamente indipendenti" sto prendendo delle variabili ausiliarie astratte $a,b,c,d,e$ che non sono numeri razionali, sono per l'appunto variabili ausiliarie, di cui l'unica cosa che so è che sono algebricamente indipendenti.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 25/06/2019, 10:21

Per quanto riguarda il polinomio $x^5-2$, potrei sbagliarmi, ma il suo gruppo di Galois dovrebbe avere $phi(5)$ $=4$ elementi :roll:
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 25/06/2019, 19:36

No, ha 20 elementi.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 26/06/2019, 01:26

Si non ho ancora le idee chiare, puoi illustrarmi a questo punto gli automorfismi che fissano $Q$?
Grazie!
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 26/06/2019, 18:15

Chiamiamo

$f(X)=X^5-2$,

\( \displaystyle a=\sqrt[5]{2} \) ,

\( \displaystyle u=e^{i 2 \pi/5} = \cos(2\pi/5)+i \sin(2\pi/5) \) .

Le radici di $f(X)$ sono

$a$, $au$, $au^2$, $au^3$, $au^4$.

Sia $M=QQ(a,au,au^2,au^3,au^4)$ il campo di spezzamento (cioe' il campo generato dalle radici), come vedi $M$ e' generato da $a$ e da $u$ cioe' $M=QQ(a,u)$. Abbiamo quindi due generatori "speciali", $a$ e $u$. Il gruppo di Galois di $f(X)$ e' per definizione il gruppo degli isomorfismi di campi $M to M$ ("automorfismi" di $M$) che fissano ogni elemento di $QQ$.

Se $g:M to M$ e' un isomorfismo di campi allora automaticamente fissa ogni elemento di $QQ$ (questo si vede facilmente, prova se vuoi), e quindi per conoscere $g:QQ(a,u) to QQ(a,u)$ ci serve conoscere l'immagine dei generatori, cioe' $g(a)$ e $g(u)$. D'altra parte se conosciamo $g(a)$ e $g(u)$ allora conosciamo $g$ appunto perche' $M$ e' generato da $a$ e $u$.

Un argomento tipico mostra che $g$ permuta le radici di $f(X)$, cioe' se $r$ e' radice di $f(X)$ allora $g(r)$ e' anch'esso radice di $f(X)$. Segue che ci sono 5 possibilita' per $g(a)$, che sono

$g(a)=a$
$g(a)=au$
$g(a)=au^2$
$g(a)=au^3$
$g(a)=au^4$

Ora dobbiamo contare le possibilita' per $g(u)$. Si puo' vedere facilmente che il polinomio minimo di $u$ e'

$h(X)=(X^5-1)/(X-1) = X^4+X^3+X^2+X+1$,

e le radici di questo polinomio sono esattamente $u$, $u^2$, $u^3$, $u^4$. Per l'argomento di cui ho gia' parlato $g$ deve permutare le radici di $h(X)$, quindi ci sono 4 possibilita' per $g(u)$, le seguenti.

$g(u)=u$
$g(u)=u^2$
$g(u)=u^3$
$g(u)=u^4$

Combinando ogni scelta di $g(a)$ con ogni scelta di $g(u)$ otteniamo esattamente $5 * 4 = 20$ automorfismi.

Questa e' l'idea, ovviamente ho omesso molti dettagli tecnici.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 16/07/2019, 08:30

Se prendiamo però il polinomio $x^5-1$ il gruppo di galois contiene $phi(5)=4$ elementi? Mi sbaglio ancora? :roll:
Il suo gruppo di Galois a cosa è isomorfo ?
Inoltre il suo campo di spezzamento si ottiene semplicemente aggiungendo a $Q$ una radice ennesima dell 'unita $omega$, generatore ?
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 16/07/2019, 08:55

francicko ha scritto:Se prendiamo però il polinomio $x^5-1$ il gruppo di galois contiene $phi(5)=4$ elementi? Mi sbaglio ancora? :roll:
Il suo gruppo di Galois a cosa è isomorfo ?
Inoltre il suo campo di spezzamento si ottiene semplicemente aggiungendo a $Q$ una radice ennesima dell 'unita $omega$, generatore ?

Tutto giusto. L'argomento che ho esposto sopra mostra che in questo caso gli elementi di G sono determinati da

$f_1(omega)=omega$
$f_2(omega)=omega^2$
$f_3(omega)=omega^3$
$f_4(omega)=omega^4$

E un facile conto mostra che G è ciclico generato da $f_2$.
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