Spazio topologico NON primo numerabile

[arnett]

Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso


Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.

[jinsang]

Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso


Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.

Ok, a partire da questa famiglia di aperti costruisco un aperto che mostra che non è un sistema fondamentale di intorni.
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

$W_1=(1-1/2,1+1/2)-{1+1/3}$
$W_2=(2-1/2,2+1/2)-{2+1/3}$
$W_3=(3-1/3,3+1/3)-{3+1/4}$
...
$W_n=(n-1/n,n+1/n)-{1/(n+1)} \ \ $ per $n>=2$

\(A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}^+} W_n\)

Questo aperto non contiene nessun $D_n$.
L'ho costruito copiando (più o meno) la costruzione generale che ho fatto nella dimostrazione, solo che qui ho detto esplicitamente chi sono i punti che tolgo.

Dimmi se ti convince

[arnett]

Sì, credo che tu mi abbia convinto. Qua:

$W_n=(n-1/n,n+1/n)-{1/(n+1)} \ \ $ per $n>=2$

palesemente volevi dire $-{n+1/(n+1)}$ direi.

E se in effetti questo è uno spazio che non è primo numerabile, deve seguire necessariamente che la proiezione al quoziente non è aperta.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Quanto a questo

Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

Beh non c'è neanche da chiederlo

[jinsang]

Qua:
$Wn=(n−1/n,n+1/n)−{1/(n+1)}$  per $n≥2$


palesemente volevi dire $−{n+1/(n+1)}$ direi.

Sisi certo.

deve seguire necessariamente che la proiezione al quoziente non è aperta.

Perché?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Quanto a questo
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

Beh non c'è neanche da chiederlo

[arnett]

Perché se la mappa quoziente $q$ fosse stata aperta avresti potuto scegliere, per ogni $p\in \RR/\NN$ un punto $\tilde p \in \RR$ nella controimmagine $q^{-1}({p})$, poi prendere un suo sistema fondamentale di intorni numerabile $\mathcal{U}(\tilde p)$ e usare come sistema fondamentale di intorni numerabile di $p$ semplicemente la collezione dei $q(U), U\in\mathcal{U}(\tilde p)$.

Comunque che questa proiezione non sia aperta si vede anche con le mani: $(7/8, 9/8)$ è un aperto di $\RR$ ma la sua immagine nel quoziente non è aperta.

[vict85]

Ho riletto la dimostrazione e mi sembra vada abbastanza bene. Anche se invece di togliere il punto \(p_i\) avresti semplicemente potuto prendere una palla aperta sufficientemente piccola.

[jinsang]

Anche se invece di togliere il punto $p_i$ avresti semplicemente potuto prendere una palla aperta sufficientemente piccola.

Hai ragione, mi sembrava non funzionasse... ma pensandoci meglio mi sembra fattibile e in effetti più semplice.

Comunque che questa proiezione non sia aperta si vede anche con le mani: $ (7/8, 9/8) $ è un aperto di $ \RR $ ma la sua immagine nel quoziente non è aperta.

Scusami, magari mi sbaglio, ma non mi torna: la sua immagine è aperta in $RR/NN$.
Gli aperti di $RR/NN$ sono gli $U$ tali che $\pi^(-1)(U)$ è aperto in $RR$ (sto indicando con $\pi$ la proiezione).
Se prendo $ \pi(7/8, 9/8) $ e ne faccio la controimmagine ottengo $\bigcup_(n \in NN) (n-1/8,n+1/8)$ che è unione di aperti quindi aperto.

Mi verrebbe da dire che questa proiezione è aperta, lo verifico su una base per la topologia euclidea su $RR$.
Dato $(a,b) \subset RR$ ho due possibilità:
1. $(a,b) \nn NN = \emptyset$ allora $\pi^(-1)(\pi(a,b))=(a,b)$ aperto, quindi $\pi(a,b)$ aperto in $RR/NN$
2. $(a,b) \nn NN != \emptyset$ allora diciamo $n_0 \in (a,b) \nn NN$ e $(a,b)=(n_0-\delta, n_0+\epsilon)$ ottengo
$\pi^(-1)(\pi(a,b))=\bigcup_(n \in NN) (n-\delta, n+\epsilon)$ aperto, quindi $\pi(a,b)$ aperto in $RR/NN$

Ora però devo pensare (sempre che non abbia detto una cavolata), perché non si può fare il discorso che hai fatto tu per dire che nel caso di proiezione aperta il quoziente sarebbe primo numerabile, prendendo come famiglia di aperti nel quoziente $RR/NN$ l'immagine un sistema fondamentale di intorni numerabile in $RR$.

[arnett]

Se prendo $ \pi(7/8, 9/8) $ e ne faccio la controimmagine ottengo $\bigcup_(n \in NN) (n-1/8,n+1/8)$ che è unione di aperti quindi aperto.

No: se fai la controimmagine trovi $(7/8, 9/8)\cup\NN$. Infatti $q(7/8, 9/8)$ è fatto da un trattino su un solo petalo: comprende il punto a cui è stato collassato $\NN$, ma poi comprende punti solo di un petalo. Stesso discorso per quando dimostri con la base euclidea che la mappa è aperta.

[jinsang]

Perfetto hai ragione ho sbagliato
Meglio così ahah
Grazie a tutti per le risposte e i chiarimenti!

[j18eos]

Ricapitolando: sei riuscito a dimostrare che questo "fiore topologico" sia NON primo numerabile?

Mi sono perso...

P.S.: se fai un'operazione analoga (il così detto collasso) con \(\displaystyle\mathbb{Z}\), ottieni la margherita topologica.