Errore di stima - esercizio

Messaggioda antocruo » 23/06/2019, 17:53

Ho un dubbi sul seguente esercizio:

Considera una popolazione X=500 da cui viene estratto un campione di dimensione n=25, con la tecnica del CCSsr.

Sapendo che una stima consistente della varianza ha fornito un risultato pari a 49, derivare una misura approssimativa della probabilità che lo stimatore della media produca un errore di stima non superiore a 10.


Ecco come ho svolto io l'esercizio:

σ= √49 = 7

P(|x- µ|≤ 10 )
= P(-10/7 ≤ (x- µ)/7 ≤ 10/7)
= P(-10/7 ≤ Z ≤ 10/7)
= Φ(1,4) - Φ(-1,4)
= 2 * Φ(1,4) -1 = 0,83848

Secondo voi è corretto?

Per risolverlo ho necessariamente bisogno delle tavole statistiche?

Grazie!
antocruo
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Re: Errore di stima - esercizio

Messaggioda tommik » 25/06/2019, 11:57

Il campionamento è CCSR (Campionamento Casuale Senza Reimmissione)

Lo stimatore della media è $bar(X)$.

La varianza dello stimatore è $V(bar(X))=(N-n)/(N-1)sigma^2/n$

$sigma^2$ non si conosce e quindi la si stima con $S^2=49$

Quindi la varianza dello stimatore è $hat(V)(bar(X))~~1.866$

Ora veniamo alla soluzione: per usare l'approssimazione Gaussiana devi invocare l'applicazione del Teorema del Limite Centrale....che euristicamente si può fare quando $n>=30$. In realtà ci sono molte distribuzioni per le quali la media diventa normale anche con un $n$ molto più piccolo....anche $n=8$.

$n=25$ è un po' al limite....ma secondo me si potrebbe anche fare, ottenendo che

$mathbb{P}{|Z|<10/sqrt(1.866)}=mathbb{P}{|Z|<7.32}~~100%$

(non servono le tavole perché la gaussiana std è già uno quando $mathbb{P}{|Z|<3.09}$)

Volendo rispettare alla lettera i dettami forniti dai maggiori testi, si può risolvere anche senza ricorrere all'approssimazione gaussiana ricordando la disuguaglianza di Cebicev secondo cui

$mathbb{P}{|bar(X)-mu|<10}>1-(1.866)/100=0.981$

Quindi trovando un risultato $p>98%$

che però è sempre molto molto sottostimato..

Conclusione: la probabilità cercata tende al 100%

[-o< cerca di inserire le formule come prescritto dal regolamento, grazie
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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