Esercizio disegno insiemi (eventualemnte chiusi) di \( \mathbb{C} \)

Messaggioda marco2132k » 25/06/2019, 16:40

Ciao. Posto in analisi, perché mi sembra più appropriato.

Tra sottoinsiemi \( C_1=\left\{z:z^2\in\mathbb{R}\right\} \), \( C_2=\left\{z:\lvert z^2-z\rvert\leqq 1\right\} \), \( C_3=\left\{2^n+i2^n:n\in\mathbb{Z}\right\} \), \( C_4=\left\{2^{-n}+i2^n:n\in\mathbb{Z}\right\} \) del campo complesso, quali sono chiusi (con la topologia del valore assoluto)?

Ho problemi con il punto 2., in particolare non ho idea di come si disegni. Ho anche provato a fare pure tutti i calcoli, però quello che ne esce non mi aiuta; Un punto \( z=x+iy\in\mathbb{C} \) di \( C_2 \) ha coordinate che soddisfano alla condizione \[ x^2 - 2 x^3 + x^4 + y^2 - 2 x y^2 + 2 x^2 y^2 + y^4\leqq 1 \]
marco2132k
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Re: Esercizio disegno insiemi (eventualemnte chiusi) di \( \mathbb{C} \)

Messaggioda obnoxious » 26/06/2019, 23:38

La mappa \(f: \mathbb{C} \to \mathbb{R} \) definita da \( z \mapsto |z^2 - z| \) e' continua e \( C_2 = f^{\leftarrow}([0,1]) \) (gli estremi sono raggiunti per esempio da \( z=0 \) e \(z=(1+\sqrt{5})/2\)).
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