Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda madda5 » 24/06/2019, 16:40

Salve,
sto cercando una spiegazione per qualche esercizio di Geometria 2, in particolare di topologia.
Non ho ben capito l'argomento che riguarda la convergenza di successioni in diverse topologie.
Qualcuno saprebbe darmi una mano, magari spiegandomi l'argomento anche con qualche esempio?
Nel caso, riporto qualche esercizio di seguito:
Le successioni:
In R, { xn = -3 - 1/n }
{ xn = 1/ (n+1) }
In R^2, { xn = -1 - 1/ (n+1) , 1/n }
Si chiede la convergenza considerando la topologia naturale, la topologia del tiro al bersaglio, e la topologia A,
con A = { vuoto, R, ]-a,a+2[ u {5} } per R
A = { vuoto, R^2, sottoinsiemi di Q=[0,5]x[0,5], tutti gli aperti di N disgiunti da Q }
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda arnett » 24/06/2019, 22:28

Per favore, scrivi con le formule, altrimenti non si capisce nulla.
Cos'è la topologia del tiro al bersaglio? È quella che io chiamo dei dischi? Cioè $\tau={(-x, x): x\in\RR}$ con le ovvie generalizzazioni multidimensionali.
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda madda5 » 25/06/2019, 12:17

Buongiorno,
perdonami per non aver usato le formule ma pensavo che il testo fosse facilmente comprensibile anche così.
Riscrivo il testo dell'esercizio utilizzandole:
Le successioni:
In $ R $ , $ {-3 -1/n } $
$ { 1/ (n+1) } $
In $ R^2 $ , $ {( -1- 1/(n+1) ,1/n )} $
Si chiede la convergenza considerando la topologia naturale, la topologia del tiro al bersaglio, la topologia delle semirette sinistre e la topologia A,
con A = { $ O/ $ , $ R $ , $ ]-a,a+2[ uu {5} $ } per $ R $ e con a numero reale positivo,
A = { $ O/ $ , $ R^2 $ , sottoinsiemi di $ Q = [0,5]xx [0,5] $ , tutti gli aperti di N disgiunti da Q } per $ R^2 $

La topologia del tiro al bersaglio è esattamente quella che hai definito come topologia dei dischi.
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda arnett » 25/06/2019, 12:29

Va bene, ora dando per scontato che con la topologia naturale tu sappia cavartela vediamo la topologia dei dischi. Ci chiediamo se la prima successione, chiamiamola $a_n$, converge per esempio a $-3$ nella topologia dei dischi. È vero che per ogni intorno $U$ del punto $-3$ esiste un $n_0$ t.c. se $n>n_0$ $a_n\inU$? Risposta: sì, infatti se assegno l'intorno $(-x, x)$ del punto $-3$ mi basterà prendere $n$ tale che $-x<-3-1/n$, vale a dire $n>1/(x-3)$. Converge anche ad altri valori?
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda madda5 » 25/06/2019, 14:29

Allo stesso modo quindi converge a $ x < -3 $ , giusto?
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda arnett » 25/06/2019, 14:37

Di più, converge ad ogni $x$ con $|x|\ge 3$.
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda madda5 » 25/06/2019, 15:01

Perchè converge anche ai punti $ x >= 3 $ ?
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda arnett » 25/06/2019, 16:14

Ragiona nella stessa maniera: come è fatto un intorno di un punto $x>3$? E' qualcosa della forma $(-y, y)$ con $y>x>3$. Ma ogni tale insieme contiene almeno definitivamente la successione.
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda madda5 » 25/06/2019, 16:24

Perfetto, fin qui ho capito. Ora la mia domanda è: perchè non converge ai punti x con $ - 3< x<3 $ ?
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Re: Geometria 2: convergenza di successioni in diverse topologie

Messaggioda arnett » 25/06/2019, 17:34

Prendiamo un punto a caso lì in mezzo per fissare le idee, per gli altri il discorso è identico.
Non converge a $1$: infatti preso l'intorno $(-3/2, 3/2)$ di $1$ non esiste $n_0$ t.c. $a_n\in (-3/2, 3/2)$ per $n>n_0$ e questo poiché $-3-1/n$ è per esempio sempre minore di $-3$. Esiste un intorno di $1$ in cui la successione non rimane definitivamente, quindi non può convergere ad $1$.
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