Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 07/06/2019, 08:57

Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Che poi corrispondono agli automorfismi delle radici che lasciano fisso il campo dei coefficienti $Q$;
Scusa, ma non mi sembra cosi incomprensibile come domanda.
Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 08/06/2019, 03:34

francicko ha scritto:Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Esatto, ma per esempio mi sai dire quanti elementi ha il gruppo di Galois di $X^5-2$?

Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Scusa non capisco, facciamo così: fammi lo stesso esempio ma con i polinomi di grado $3$. Se hai $X^3+aX^2+bX+c$ come fai, col tuo metodo, a determinare il gruppo di Galois? Così capisco cosa intendi con la domanda "Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo?" che davvero non riesco a interpretare.

Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Sì se aggiungi $sqrt(Delta)$ al "campo base" allora nel campo base ti trovi tutte le radici quindi il gruppo di Galois è ${1}$.

Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Ma c'è una differenza fondamentale. Se tu scegli specifici $a,b,c$ razionali allora il gruppo di Galois di $aX^2+bX+c$ non è necessariamente $S_2$, dipende dal valore che hai dato a $a,b,c$. Invece se $a,b,c$ sono variabili algebricamente indipendenti e il campo base è $K=QQ(a,b,c)$ allora il gruppo di Galois è $S_2$. Lo stesso vale per polinomi di grado $n$ qualsiasi (con $S_n$ invece di $S_2$).

Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
Invece questa frase è del tutto incomprensibile. Cosa vuol dire "se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico"? E' chiaro che nel momento in cui consideri un polinomio specifico, nel tuo caso $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$, i suoi coefficienti sono univocamente determinati, sono numeri razionali (addirittura interi) calcolabili esplicitamente, e ovviamente se hai dei numeri razionali sono automaticamente algebricamente dipendenti.

Non so se ci intendiamo con "algebricamente indipendenti". Se prendo una lista di numeri razionali $a,b,c,d,e$ allora sono per forza algebricamente dipendenti, sei d'accordo? Per esempio $a=5$ e $b=2/3$ sono algebricamente dipendenti perché $5+2/3=17/3$ quindi $a+b-17/3=0$ e questa è una relazione polinomiale (con coefficienti razionali) che lega $a$ e $b$.

Quando dico "variabili algebricamente indipendenti" sto prendendo delle variabili ausiliarie astratte $a,b,c,d,e$ che non sono numeri razionali, sono per l'appunto variabili ausiliarie, di cui l'unica cosa che so è che sono algebricamente indipendenti.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 25/06/2019, 10:21

Per quanto riguarda il polinomio $x^5-2$, potrei sbagliarmi, ma il suo gruppo di Galois dovrebbe avere $phi(5)$ $=4$ elementi :roll:
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 25/06/2019, 19:36

No, ha 20 elementi.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 26/06/2019, 01:26

Si non ho ancora le idee chiare, puoi illustrarmi a questo punto gli automorfismi che fissano $Q$?
Grazie!
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 26/06/2019, 18:15

Chiamiamo

$f(X)=X^5-2$,

\( \displaystyle a=\sqrt[5]{2} \) ,

\( \displaystyle u=e^{i 2 \pi/5} = \cos(2\pi/5)+i \sin(2\pi/5) \) .

Le radici di $f(X)$ sono

$a$, $au$, $au^2$, $au^3$, $au^4$.

Sia $M=QQ(a,au,au^2,au^3,au^4)$ il campo di spezzamento (cioe' il campo generato dalle radici), come vedi $M$ e' generato da $a$ e da $u$ cioe' $M=QQ(a,u)$. Abbiamo quindi due generatori "speciali", $a$ e $u$. Il gruppo di Galois di $f(X)$ e' per definizione il gruppo degli isomorfismi di campi $M to M$ ("automorfismi" di $M$) che fissano ogni elemento di $QQ$.

Se $g:M to M$ e' un isomorfismo di campi allora automaticamente fissa ogni elemento di $QQ$ (questo si vede facilmente, prova se vuoi), e quindi per conoscere $g:QQ(a,u) to QQ(a,u)$ ci serve conoscere l'immagine dei generatori, cioe' $g(a)$ e $g(u)$. D'altra parte se conosciamo $g(a)$ e $g(u)$ allora conosciamo $g$ appunto perche' $M$ e' generato da $a$ e $u$.

Un argomento tipico mostra che $g$ permuta le radici di $f(X)$, cioe' se $r$ e' radice di $f(X)$ allora $g(r)$ e' anch'esso radice di $f(X)$. Segue che ci sono 5 possibilita' per $g(a)$, che sono

$g(a)=a$
$g(a)=au$
$g(a)=au^2$
$g(a)=au^3$
$g(a)=au^4$

Ora dobbiamo contare le possibilita' per $g(u)$. Si puo' vedere facilmente che il polinomio minimo di $u$ e'

$h(X)=(X^5-1)/(X-1) = X^4+X^3+X^2+X+1$,

e le radici di questo polinomio sono esattamente $u$, $u^2$, $u^3$, $u^4$. Per l'argomento di cui ho gia' parlato $g$ deve permutare le radici di $h(X)$, quindi ci sono 4 possibilita' per $g(u)$, le seguenti.

$g(u)=u$
$g(u)=u^2$
$g(u)=u^3$
$g(u)=u^4$

Combinando ogni scelta di $g(a)$ con ogni scelta di $g(u)$ otteniamo esattamente $5 * 4 = 20$ automorfismi.

Questa e' l'idea, ovviamente ho omesso molti dettagli tecnici.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 16/07/2019, 08:30

Se prendiamo però il polinomio $x^5-1$ il gruppo di galois contiene $phi(5)=4$ elementi? Mi sbaglio ancora? :roll:
Il suo gruppo di Galois a cosa è isomorfo ?
Inoltre il suo campo di spezzamento si ottiene semplicemente aggiungendo a $Q$ una radice ennesima dell 'unita $omega$, generatore ?
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 16/07/2019, 08:55

francicko ha scritto:Se prendiamo però il polinomio $x^5-1$ il gruppo di galois contiene $phi(5)=4$ elementi? Mi sbaglio ancora? :roll:
Il suo gruppo di Galois a cosa è isomorfo ?
Inoltre il suo campo di spezzamento si ottiene semplicemente aggiungendo a $Q$ una radice ennesima dell 'unita $omega$, generatore ?

Tutto giusto. L'argomento che ho esposto sopra mostra che in questo caso gli elementi di G sono determinati da

$f_1(omega)=omega$
$f_2(omega)=omega^2$
$f_3(omega)=omega^3$
$f_4(omega)=omega^4$

E un facile conto mostra che G è ciclico generato da $f_2$.
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda francicko » 13/08/2019, 10:22

Grazie per le risposte, anche se ancora sono molto lontano da una piena comprensione di tale teoria, qualche piccolissimo passo riesco a farlo.
L'osservazione principale è che il gruppo di galois descrive bene, la simmetria di un equazione, le radici inizialmente sono indistinguibili nel campo base contenente i coefficienti, il gruppo di galois misura questa indistinguibilita, sino a ridursi al gruppo identico, quando procedendo per ampliamenti successivi, arriviamo al campo di spezzamento, dove tali radici diventano distinguibili, giusto?
Nel caso dell'equazione $x^n-1=0$ si passa direttamente dal campo base $Q$ al campo di spezzamento semplicemente aggiungendo una radice ennesima dell'
unità.
Quale è e di quali gruppi consta la catena di risolubilita del gruppo di Galois nel caso ad esempio Delle equazioni "$x^5-1$ ed $x^4-1$?
Grazie!
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Re: Che cos'è il gruppo di Galois?

Messaggioda Martino » 13/08/2019, 18:12

francicko ha scritto:Grazie per le risposte, anche se ancora sono molto lontano da una piena comprensione di tale teoria, qualche piccolissimo passo riesco a farlo.
Ti suggerisco di seguire un corso serio, teoria di Galois richiede un impegno intenso e costante. Per impararla bene ti ci vogliono almeno un paio di mesi di immersione totale.

L'osservazione principale è che il gruppo di galois descrive bene, la simmetria di un equazione, le radici inizialmente sono indistinguibili nel campo base contenente i coefficienti, il gruppo di galois misura questa indistinguibilita, sino a ridursi al gruppo identico, quando procedendo per ampliamenti successivi, arriviamo al campo di spezzamento, dove tali radici diventano distinguibili, giusto?
Mi sembrano molti pensieri in libertà soggetti a moltissime interpretazioni. Ti consiglio di dedicarti di più alla formulazione di enunciati esatti (la cui verità possa essere controllata senza equivoci). Enunciati falsificabili, come direbbe Popper. Altrimenti rimani troppo sul vago.

Nel caso dell'equazione $x^n-1=0$ si passa direttamente dal campo base $Q$ al campo di spezzamento semplicemente aggiungendo una radice ennesima dell'
unità.
Quale è e di quali gruppi consta la catena di risolubilita del gruppo di Galois nel caso ad esempio Delle equazioni "$x^5-1$ ed $x^4-1$?
Grazie!
Si dimostra (ma non è immediato, ci vuole una mezza pagina) che il gruppo di Galois $G$ di $X^n-1$ è sempre abeliano, quindi in questo caso la catena di risolubilità di cui parli è semplicemente ${1} to G$. Se ti interessa la dimostrazione del fatto che in questo caso $G$ è abeliano la posso includere.
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