Vorrei riaprire una discussione risalente a un po' di anni fa circa i limiti di funzioni in due variabili, la domanda era:
passando da coordinate cartesiane a polari, nello svolgimento di un limite, e constatando l'esistenza del limite in coordinate polari è possibile concludere che il limite esiste anche in coordinate cartesiane?
Fino a qualche giorno fa ero convinto che la risposta a questo quesito fosse sì, a patto di dimostrare l'esistenza del limite in coordinate polari mediante una un disequazione (maggiorando e minorando la funzione con 2 funzioni indipendenti dalla variabile $ theta $ ), tuttavia di recente mi sono imbattuto in un limite piuttosto semplice, che però metteva in crisi la mia ipotesi: $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^2/(x^2+y^4) $
Si dimostra facilmente che il limite non esiste, infatti $ lim_((t,t) -> (0,0)) t^2/(t^2+t^4)=1 $ mentre $ lim_((t^2,t) -> (0,0)) t^4/(t^4+t^4)=1/2 $
Tuttavia svolgendolo in coordinate polari si ottiene $ lim_(rho -> 0) (rho^2cos^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)=lim_(rho -> 0)(cos^2theta)/(cos^2theta+rho^2sin^4theta)=cos^2theta/(cos^2theta+lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta) $ dunque adesso procediamo a dimostrare che $ lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta = 0 $ : $ 0 <= lim_(rho -> 0) |rho^2sin^4theta|<= lim_(rho -> 0) rho^2 => lim_(rho -> 0)rho^2sin^4theta=0 $ ,si potrebbe quindi cconcludere che $ lim_(rho -> 0) (rho^2cos^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^4sin^4theta)=1 $ ma questo risulta assurdo visto che il limite non esiste.
Voi che ne pensate?