Buonasera, sono di nuovo io! Inanzitutto ringrazio per l'aiuto datomi sui sistemi lineari con parametro.
Oggi, mi presento con una tipologia di esercizio diversa, presa sempre da una delle tante simulazioni prive di risoluzioni .
Sicuramente, su questa tipologia mi sento meno confuso, in ogni caso un parere da una mente che conosce bene la materia penso che possa solo essere di aiuto.
Inizio
Si consideri la matrice:
$ ( ( 0 , 1 , b^2-1 ),( 1 , 0 , b-1 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
a)Determinare gli autovalori di A con le relative molteplicità
b)Determinare al variare di $ b in R $ le molteplicità geometriche degli autovalori di A e dire per quali valori di $ b in R $ la matrice A è diagonalizzabile
Partendo con il calcolare gli autovalori, vado a sottrarre alla diagonale principale "h", che indicherà appunto i miei autovalori:
$ ( ( -h , 1 , b^2-1 ),( 1 , -h , b-1 ),( 0 , 0 , -1-h ) ) $
Tramite Laplace calcolo il determinante, ovvero il polinomio caratteristico che uguagliato a zero mi consentirà di trovare gli autovalori:
$ detA_h=(-1-h)*(-1)^6* | ( -h , 1 ),( 1 , -h ) | =(-1-h)*(h^2-1) $
$ (-1-h)*(h^2-1)=0 $
Dunque avremo:
$ h_1=-1 rarrma=2 $
$ h_2=2 $
Vado a verificare per quali valori di $ b in R $ A è diagonalizzabile.
N.B: Non avendo un autovalore che dipende da b, posso immediatamente dire che per b=2 la matrice A non è diagonalizzabile
Stesso discorso non vale per h=-1 in quanto ha molteplicità algebrica =2, ovvero è un autovalore doppio.
Dunque se a tale autovalore doppio $ h_1 $, corrispondono due autovettori distinti, la matrice A sarà diagonalizzabile per b= -1.
Verifichiamo:
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Tramite il teorema degli Orlati, si verifica ad occhio che il $ rk(A')=2 $
La molteplicità geometrica:
$ mg= dim(A) - rk(A') = 3 - 2 = 1 rarr ma != mg $
La matrice A per b= -1 non è diagonalizzabile.
Per concludere, la matrice A è diagonalizzabile: $ AA b in R \\ {-1,2}; $
Spero di avere svolto l'esercizio in modo chiaro e corretto in modo che possa essere di aiuto per le anime pie come me che vedono per la prima volta questi esercizi. Nel caso contrario, necessito di aiuto
I miei più sinceri saluti!