L'insieme $\RR_{Sf}\times \RR_{Sf}$ con la topologia prodotto è di Hausdorff ma non è metrizzabile
essendo $\RR_{Sf}$ la retta di Sorgenfrey, cioè la topologia che ha per base gli intervalli semiaperti $[a,b[$. Lo spazio è di Hausdorff perché $\RR_{Sf}$ è di Hausdorff. Infatti, per ogni $x,y\in \RR_{Sf}$ distinti, detto $0<r<\frac{d(x,y)}{2}$, gli aperti $[x-r,x+r[$ e $]y-r,y+r[$ sono disgiunti e contengono $x$ e $y$ rispettivamente.
Per far vedere che $\RR_{Sf}\times \RR_{Sf}$ non è metrizzabile consiglia di procedere per assurdo. Se $d$ è una sua distanza, per ogni numero reale $t$ si può scegliere un numero reale positivo $h(t)$ tale che
\[
[t,t+h(t)[\times [-t,-t+h(t)[\subset B\Bigg((t,-t), \frac{\mbox{inf}\{d([(t,-t),(r,-r)]: r\ne t\}}{2}\Bigg)
\]
Poi dice "$\forall \varepsilon>0$ mostrare che $\{t\in \mathbb{R} : h(t)>\varepsilon\}$ è numerabile"
Dove nascerebbe l'assurdo? Forse quell'insieme deve essere equipotente a $\RR$. Non capisco dove vuole andare a parare
Grazie